Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [61]
Теорема (закон синусов): В любом треугольнике ABC, длины сторон которого соответственно равны a, b и c,
Закон синусов – это еще один способ вычислить высоту нашей горы. На этот раз мы сосредоточимся на a – диагонали, пролегающей между нами и вершиной:
Способ № 5 (закон синусов): В треугольнике ABD ∠BAD = 32°, а ∠BDA = 180° – 40° = 140°. Следовательно, ∠ABD = 8°. Согласно закону синусов получаем
Умножим обе части на sin 32°, что даст нам a = 300 sin 32°/ sin 8° ≈ 1143 метров. А так как sin 40 ≈ 0,6428 = h/a, то
что полностью совпадает с ответом, к которому мы пришли в прошлом разделе.
Не менее замечательна в этом отношении формула Герона, с помощью которой можно найти площадь треугольника по длинам его сторон a, b и c. Сначала мы находим полупериметр p:
А потом и площадь S:
Например, если взять треугольник со сторонами 3, 14 и 15 (узнаете первые пять цифр числа π?), полупериметр будет равен (3 + 14 + 15)/2 = 16, а площадь, таким образом, – √(16(16 – 3)(16 – 14)(16 – 15)) = √416 ≈ 20,4.
Несложно, правда? Уверен, внимательный читатель не сможет не заметить здесь закон косинусов, слегка приправленный алгеброй.
Тригонометрические тождества
Но этим возможности тригонометрических функций не ограничиваются. Они способны и на куда более интересные и запутанные взаимоотношения – так называемые тождества. Некоторые из таких тождеств мы уже наблюдали, например,
Но их, конечно же, куда больше.
Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.
Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:
Под эту формулу должна подходить точка (cos A, sin A), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A)² + (sin A)² = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.
Теорема: Для любого ∠A
До сих пор все произвольные углы мы обозначали буквой A. Но это не значит, что вы обязаны всегда так делать, можно брать и другие буквы, например, x:
В тригонометрии для этой цели часто используется греческая буква θ (тета) –
А бывает и так, что вообще ничего не используется:
Но перед тем как доказывать какое бы то ни было тождество, нужно найти длину отрезка прямой. В этом нам поможет теорема Пифагора.
Теорема (формула расстояния между двумя точками): Обозначим длину отрезка прямой от точки (x>1, y>1) до точки (x>2, y>2) буквой L. Тогда
Например, длина отрезка от точки (–2, 3) до точки (5, 8) равна
Доказательство: Возьмем две точки (x>1, y>1) и (x>2, y>2). Начертим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке выше длина основания равна x>2 – x>1, а высота – y>2 – y>1. Следовательно, согласно теореме Пифагора, гипотенуза L равна
то есть
что и требовалось доказать.Чему будет равна диагональ в коробке размером a × b × c? Возьмем прямоугольник, образующий дно этой коробки, и обозначим пару противоположных его углов буквами O и P. Длина и ширина при этом будут равны соответственно a и b, а диагональ OP – √(a² + b²).
Теперь проложим линию c от точки P к точке Q, образующей угол, противолежащий O. Чтобы найти расстояние от O до Q, нам понадобятся длины катетов прямоугольного треугольника
и c. Применим к ним теорему Пифагора и получим, что длина диагонали OQ равнаНу а теперь собственно тождество – столь же полезное, сколь и красивое. Доказательство может показаться несколько запутанным, поэтому можете смело его пропускать (хотя я все же советую вам в нем разобраться – оно ляжет в основу доказательства других тождеств).
Теорема: Для любых углов A и B
Доказательство: На единичной окружности, центром которой является точка O, расположены точки P (cos A, sin A) и Q (cos B, sin B). Предположим, что длина отрезка PQ равна с. Что можно сказать о ней?
В треугольнике OPQ отрезки OP и OQ являются радиусами единичной окружности, а значит, их длина равна 1, а ∠POQ может быть измерен как A – B. Следовательно, согласно закону косинусов,
С другой стороны, формула расстояния приводит нас к уравнению
поэтому расстояние c от точки P = (cos A, sin A) до точки Q = (cos B, sin B) соответствует
где последнее представление основывается на уравнениях cos² B + sin² B = 1 и cos² A + sin² A = 1.
Соединив эти уравнения для c², получаем
Вычтем из обеих частей 2, разделим их на –2 и получим
что и требовалось доказать.◻
Формула для cos (A – B) основывается на законе косинусов и исходит из того, что 0° < A – B < 180°. Но ту же теорему можно доказать и выйдя за рамки подобных ограничений. Если переместить треугольник
Каждый из нас способен умножать, делить, возводить в степень и производить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами — достаточно использовать простые приемы, описанные в этой книге. Они доступны для людей любого возраста и любых математических способностей.Эта книга научит вас считать в уме быстрее, чем на калькуляторе, запоминать большие числа и получать от математики удовольствие.
Книга представляет собой один из первых в отечественной научной литературе опытов междисциплинарного подхода к проблематике искусственного интеллекта. В ней рассматриваются философские, методологические, общетеоретические и социокультурные аспекты данной проблематики, обсуждаются актуальные задачи моделирования искусственного интеллекта в связи с рядом логических и математических вопросов и под углом соотношения искусственного интеллекта с естественным и современных разработок проблемы "сознание и мозг".
Никогда не уйдет в прошлое интерес к познанию происхождения и последующей эволюции уникального человеческого вида. От древесной обезьяны до человека разумного — дистанция огромного размера. В настоящем издании она заполняется известными и новейшими материалами по истории антропологических знаний о движущих силах и закономерностях развития семейства гоминид, адаптивном полиморфизме вида гомо сапиенса, его расовой структуре, перспективах развития.
Технологии захватывают мир, и грани между естественным и рукотворным становятся все тоньше. Возможно, через пару десятилетий мы сможем искать информацию в интернете, лишь подумав об этом, – и жить многие сотни лет, искусственно обновляя своё тело. А если так случится – то что будет с человечеством? Что, если технологии избавят нас от необходимости работать, от старения и болезней? Всемирно признанный футуролог Герд Леонгард размышляет, как изменится мир вокруг нас и мы сами. В основу этой книги легло множество фактов и исследований, с помощью которых автор предсказывает будущее человечества.
В монографии исследуются эволюция капиталистического отчуждения труда в течение последних ста лет, возникновение новых форм отчуждения, влияние растущего отчуждения на развитие образования, науки, культуры, личности. Исследование основывается на материалах философских, социологических и исторических работ.
Пища всегда была нашей естественной и неизбежной потребностью, но отношение к ней менялось с изменением социальных условий. Красноречивым свидетельством этого является тот огромный интерес к разнообразным продуктам питания, к их природе и свойствам, который проявляет сегодня каждый из нас. Только, достигнув высокого уровня жизни и культуры, человек, свободный от проблемы — где и как добыть пищу, имеет возможность выбирать из огромного ассортимента высококачественных продуктов то, что отвечает его вкусу, что полезнее и нужнее ему, и не только выбирать, но и руководить своим питанием, строить его сообразно требованиям науки о питании и запросам собственного организма.
Пражская весна – процесс демократизации общественной и политической жизни в Чехословакии – был с энтузиазмом поддержан большинством населения Чехословацкой социалистической республики. 21 августа этот процесс был прерван вторжением в ЧССР войск пяти стран Варшавского договора – СССР, ГДР, Польши, Румынии и Венгрии. В советских средствах массовой информации вторжение преподносилось как акт «братской помощи» народам Чехословакии, единодушно одобряемый всем советским народом. Чешский журналист Йозеф Паздерка поставил своей целью выяснить, как в действительности воспринимались в СССР события августа 1968-го.