Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [60]

180 – A остается неизменным, а значение x-координаты меняет знак на противоположный. То есть

cos (180 – A ) = –cos A sin (180 – A ) = sin A

Скажем, при A = 30°

cos 150° = –cos 30° = –√ 3 /2 sin 150° = sin 30° = 1/2

Остальные тригонометрические функции определяются по старой схеме (например, tan A = sin A/cos A).

Оси x и y «разрезают» поверхность окружности на четыре сектора-квадранта. Пронумеруем их римскими цифрами по часовой стрелке – I, II, III и IV, – начиная с правой верхней, то есть с диапазона углов от 0° до 90°. Квадрант II, таким образом, охватит диапазон от 90° до 180°, квадрант III – от 180° до 270°, а квадрант IV – от 270° до 360°. Обратите внимание, что в разных квадрантах разные тригонометрические функции будут вести себя по-разному: положительные значения синуса мы получим в квадрантах I и II, косинуса – в квадрантах I и IV, тангенса – в квадрантах I и III. Чтобы это запомнить, некоторые из моих учеников любят повторять «Все студенты таскают калькуляторы» (посмотрите на первые буквы в каждом слове этой «запоминалки»: «в» – «все функции» в квадранте I, «с» – «синусы» в квадранте II, «т» – «тангенсы» в квадранте III, «к» – «косинусы» в квадранте IV).

Ну и еще немного терминологии. Для определения неизвестных значений углов нужны обратные тригонометрические (циклометрические, круговые) функции. Например, обратным синусом 1/2 будет sin^–1(1/2)[32]. Такого рода функция говорит нам, что мы имеем дело с неким ∠A, синус которого равен 1/2. А так как мы знаем, что sin 30° = 1/2, получаем

sin >–1 (1/2) = 30°

Функция sin^–1 (которая также называется арксинусом) всегда даст нам угол в диапазоне от –90° до 90°, но мы-то с вами знаем, что есть и другие углы с тем же значением синуса – синус 150°, например, будет также равен 1/2. То же происходит и с любым кратным 360° значением, прибавляемым к 30° или 150° – синусы будут равны.

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции:

∠ A = sin >– >1 (3/5) = cos >– >1 (4/5) = tan >– >1 (3/4) ≈ 36,87° ≈ 37°

Самое время применять все эти знания на деле. В «геометрической» главе мы доказали теорему Пифагора, с помощью которой можно вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длины его катетов. Здесь же, в главе «тригонометрической», мы можем сделать практически то же самое для любого треугольника. В этом нам поможет закон косинусов.

Теорема (закон косинусов): Длина стороны c любого треугольника ABC, в котором стороны a и b образуют ∠C, соответствует

c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C .

Для примера взгляните на изображенный ниже треугольник ABC. Между двумя его сторонами с длинами 21 и 26 лежит угол 15°. Согласно закону косинусов, длина третьей стороны с составит

c ² = 21² + 26² – 2(21)(26) cos 15°

А так как cos 15° ≈ 0,9659, уравнение упрощается сначала до c² = 62,21, а потом и до c ≈ 7,89.

Отступление

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим три частных случая – в зависимости от того, будет ли ∠C прямым, острым или тупым. Если ∠C – прямой, его косинус будет равен cos 90° = 0, что упрощает закон косинусов до c² = a² + b², то есть до уже доказанной нами теоремы Пифагора.

Если ∠C – острый (как на рисунке), опустим перпендикуляр из ∠B к стороне AC до лежащей на ней точки D. Получим два треугольника. Применим теорему Пифагора к CBD – a² = h² + x² и придем к

h ² = a ² – x ²

Треугольник же ABD можно просчитать как c² = h² + (b – x)² = h² + b² – 2bx + x², то есть

h ² = c ² – b ² + 2 bx – x ²

Составим из двух равных h² частей уравнение:

c ² – b ² + 2 bx – x ² = a ² – x ²

Следовательно,

c ² = a ² + b ² – 2 bx

В треугольнике CBD cos C = x/a, поэтому x = a cos C. Следовательно, если ∠C является острым, то

c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C

Если же ∠C – тупой, дополним треугольник ABC прямоугольным треугольником CBD, как на рисунке:

Для него, как и для получившегося большого, верна теорема Пифагора: a² = h² + x² и c² = h² + (b + x)². Как и в случае с острым ∠C, соединим уравнения:

c ² = a ² + b ² + 2 bx

В треугольнике CBD cos (180° – C) = x/a, то есть x = a cos (180° – C) = –a cos C. И мы вновь приходим к искомому:

c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C ☺

Кроме того с помощью функций можно рассчитать площадь треугольника.

Сопутствующая теорема: В любом треугольнике ABC со сторонами a и b и лежащим между ними ∠C

Отступление

Доказательство: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h равна

Все три треугольника, рассмотренные при доказательстве закона косинусов, имеют основание b. Определим высоту h. В остроугольном треугольнике обратим внимание на то, что sin C = h/a, то есть h = a sin C. В тупоугольном треугольнике sin (180° – C) = h/a, поэтому опять имеем h = a sin (180° – C) = a sin C. В прямоугольном же треугольнике h = a, что равно a sin C, потому что C = 90°, а sin 90° = 1. Следовательно, так как во всех трех случаях h = a sin C, площадь треугольников составит

что и требовалось доказать.

Следствия этой теоремы очевидны:

Другими словами, в треугольнике ABC (sin C)/c равен его удвоенной площади, разделенной на произведение длин трех его сторон. Какой угол выбрать, по большому счету не так уж и важно – (sin