Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [64]

Давайте попробуем разобраться в этом с помощью нескольких конкретных примеров. Начнем со сложения и вычитания:

(3 + 4 i ) + (2 + 5 i ) = 5 + 9 i

(3 + 4 i ) – (2 + 5 i ) = 1 – i

Для умножения применим алгебраический метод FOIL, описанный в главе 2:

(3 + 4 i )(2 + 5 i ) = 6 + 15 i + 8 i + 20 i ² = 6 – 20 + (15 + 8) i = –14 + 23 i

Для комплексного числа каждый квадратный многочлен ax² + bx + c будет иметь два корня (или же один, но повторяющийся). Согласно формуле корней квадратного уравнения, многочлен будет равен 0 всякий раз, когда

Помните, в главе 2 мы с вами говорили о том, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательной величины? Но ведь никакие квадратные корни отрицательных величин нам и не нужны. Смотрите сами: уравнение x² + 2x + 5, например, имеет корни

Кстати, формула корней квадратного уравнения будет верна даже при комплексных значениях a, b или c.

В любом квадратном многочлене мы можем найти как минимум один корень, пусть и комплексный. На этот счет есть своя теорема.

Теорема (основная теорема алгебры): Любой многочлен p(x), возводимый в первую или бо́льшую степень, имеет корень z при p(z) = 0.

Обратите внимание, что многочлен первой степени, вроде 3x – 6, может быть представлен как 3(x – 2), где 2 есть единственный корень 3x – 6. Обобщая, можно сказать, что при a ≠ 0 многочлен ax – b можно представить в виде a(x – (b/a)), где b/a будет являться корнем ax – b.

То же происходит и с многочленами второй степени: разложив ax² + bx + c до a(x – z₁)(x – z₂), мы получаем его корни – z₁ и z₂ (они вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной). И так можно продолжать до бесконечности – с любым многочленом любой степени.

Сопутствующая теорема: Любой многочлен степени n ≥ 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p(x) есть многочлен n-ной степени, в котором главный член a ≠ 0, должно существовать n чисел z₁, z₂…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p(x) = a(x – z₁)(x – z₂)… (x – z_n). Величины zi являются корнями многочлена при p(z_i) = 0.

Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ≥ 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.

Например, x⁴ – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как

x >4 – 16 = ( x >2 – 4)( x >2 + 4) = ( x –2)( x + 2)( x – 2 i )( x + 2 i )

из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2i, – 2i.

А вот многочлен третьей степени 3x³ +9x² –12 раскладывается так:

3 x ³ + 9 x ² – 12 = 3( x ² + 4 x + 4)( x – 1) = 3( x + 2)²( x – 1)

то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.

Геометрия комплексных чисел

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости. Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат (x, y), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось, на которой расположены числа 0, ±i, ±2i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

(3 – 2 i ) + (–1 + i ) = 2 + 3 i

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2i, 2 + 3i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w, расположенную симметрично напротив w. А теперь просто сложим z и – w, как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как |z|) есть расстояние от 0 до точки z. Если z = a + bi, тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен

| z | = √( a ² + b ²)

На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2i имеет модуль √(3² + 2²) = √13. Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan^–12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.

Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле

z = R (cos θ + i sin θ)

что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Re^iθ.

А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.

Теорема: Для комплексных величин z₁ и z₂ |z₁z₂| = |z₁| |z₂|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей.

Например,

|(3 + 2 i )(1 – 3i)| = |9 – 7 i | = √( 9 ² + (–7) ²)√ 130 = √ 13 √ 10 = |3 + 2 i | |1 – 3 i |

А что насчет угла, привязанного к произведению? Для обозначения угла, образованного комплексным