Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [65]

и «положительной» половиной оси x, обычно используется представление arg z. Так, arg (3 + 2i) = 0,588 рад. Аналогично arg (1 – 3i) = tan^–1 (–3) = –71,56° = –1,249 рад, потому что значение 1 – 3i располагается в квадранте IV, а тангенс его угла θ равен –3.

Обратите внимание, что угол значений (3 + 2i)(1 – 3i) = (9 – 7i) имеет tan^–1 (–7/9) = –37.87° = –0,661 рад, что есть 0,588 + (–1,249). И имеется теорема, которая доказывает, что это совсем не совпадение!

Теорема: Для комплексных величин z₁ и z₂ arg (z₁z₂) = arg (z₁) + arg (z₂). Другими словами, угол произведения есть сумма углов.

Доказательство этого (оно приведено в «отступлении») основано на некоторых тригонометрических тождествах, рассмотренных нами в предыдущей главе.

Отступление

Доказательство: Возьмем две комплексные величины z₁ и z₂, имеющие модули R₁ и R₂ и углы θ₁ и θ₂ соответственно. Записав их в тригонометрическом представлении, имеем

z >1 = R >1 (cos θ >1 + i sin θ >1 )

z >2 = R >2 (cos θ >2 + i sin θ >2 )

Тогда на основании тождеств cos (A + B) и sin (A + B)

z >1 z >2 = R >1 (cos θ >1 + i sin θ >1 ) R >2 (cos θ >2 + i sin θ >2 ) = R >1 R >2 [cos θ >1 cos θ >2 – sin θ >1 sin θ >2 + i (sin θ >1 cos θ >2 + sin θ >2 cos θ >1 )] = R >1 R >2 [cos(θ >1 + θ >2 ) + i (sin(θ >1 + θ >2 ))]

Следовательно, z₁z₂ имеет модуль R₁R₂ (что нам уже известно) и угол θ₁ + θ₂, что и требовалось доказать.◻

Обобщим: чтобы умножить комплексные величины, нужно умножить их модули и сложить их углы. К примеру, при умножении некоего числа на i модуль останется прежним, а угол «вырастет» на 90°. Имейте в виду, что при перемножении двух действительных величин положительные числа будут иметь углы, равные 0° (или, что то же самое, 360°), а отрицательные – 180°. Два угла по 180° дадут в сумме 360° – еще одно доказательство, что произведение двух отрицательных величин есть величина положительная. Мнимые же числа имеют углы, равные либо 90°, либо –90° (или 270°). Следовательно, при умножении такого числа на само себя угол должен быть равен 180° (так как 90° + 90° = 180°, а –90° + –90° = –180°, что ничем не отличается от 180°), что соответствует отрицательной величине.

Ну и, наконец, возьмем число z с углом θ: 1/z должно иметь угол –θ. (Почему? Да потому что z · 1/z = 1, то есть z и 1/z должны в сумме давать 0°.)

Получается, что при делении комплексных чисел, мы делим их модули и вычитаем их углы: z₁/z₂ имеет модуль R₁/R₂ и угол θ₁ – θ₂.

Магия числа e

Если вдруг у вас под рукой есть профессиональный калькулятор, сделайте вот что:

1. Наберите на нем любое хорошо запоминающееся семизначное число (можно взять номер телефона, несколько цифр из номера паспорта или просто любимую цифру, повторенную семь раз).

2. Посчитайте обратную ему величину (для этого нужно нажать кнопку 1/x).

3. Прибавьте к нему единицу.

4. Возведите результат в степень, равную загаданному семизначному числу (нажимаете кнопку x^y, вводите семь цифр и нажимаете «равно»).

Первые четыре цифры ответа – 2,718, да? Не удивлюсь даже, если у вас получится

e = 2,718281828459045…

то есть цифр, совпадающих с иррациональным числом e, будет куда больше.

Так что это за мистическое e такое, в чем его секрет и зачем оно вообще нужно?

Ваши операции с калькулятором свелись, по сути, к

(1 + 1/ n ) >n

где n и есть ваше семизначное число. Семь знаков – много, но что будет, если их будет еще больше? С одной стороны, число (1 + 1/n) будет все ближе и ближе подбираться к единице, которая при возведении в степень останется единицей. Следовательно, было бы разумным предположить, что при любом большом значении n (1 + 1/n)ⁿ будет приблизительно равно единице (например, 1,001¹⁰⁰ ≈ 1,105).

С другой стороны, даже при больших значениях n результат (1 + 1/n) никогда не опустится ниже этой самой единицы. А при последовательном возведении такого числа во все бо́льшую и бо́льшую степень, увеличиваться будет и итог (скажем, 1,001^{10 000} будет больше 20 000).

Сложность здесь заключается в том, что «основа» (1 + 1/n) становится тем меньше, чем больше возрастает n. И это постоянное «перетягивание каната» между единицей и бесконечностью пододвигает ответ все ближе и ближе к e = 2,71828… (Так, 1,001¹⁰⁰⁰ ≈ 2,717.)

Давайте посмотрим повнимательнее, как ведет себя функция (1 + 1/n)ⁿ при возрастающих значениях n:

Именно так и определяется число e: как величина, к которой приближается (1 + 1/n)ⁿ с возрастанием значения n. Математики называют ее пределом (1 + 1/n)ⁿ при n, стремящейся к бесконечности. Записывается это следующим образом:

Если заменить дробь 1/n на x/n, оговорившись, что x есть действительная величина, то с возрастанием n/x число (1 + x/n)^n/x будет все больше приближаться к e. Возведя обе части этого уравнения в степень x (и вспомнив, что (a^b)^c = a^bc), мы приходим к экспоненциальной формуле:

где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через