Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [67]
Доказательство: Предположим, что y = log>bx. Тогда b>y = x. Прологарифмируем обе части: log b>y = log x. Согласно второму замечательному пределу, y log b = log x. Следовательно, y = (log x)/(log b), что и требовалось доказать.◻
logb x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0,301…) ≈ 3,32 log x
Другие лики е
Как и число π, число e широко используется в математике. И, как и π, оно встречается подчас там, где вы совершенно не ожидаете его увидеть. Например, колоколообразная кривая, которую мы уже упоминали в главе 8, имеет формулу
а ее график, изображенный чуть ниже, – наверное, самый важный график в любом статистическом исследовании.
В той же главе 8 мы встречали e в формуле Стирлинга для множества n!:
Позже, в главе 11, на примере e>x и бесконечной последовательности
мы увидим важную связь между числом e и факториальным многочленом.
В частности, при x = 1,
Не правда ли, очень легкий и быстрый способ определить цифры, составляющие число e?
Кстати, о цифрах… Вы наверняка уже заметили, что число e начинается с повторяющейся последовательности цифр
или, как любил повторять один мой преподаватель, «2,7 Эндрю Джексон, Эндрю Джексон», потому что седьмой президент США был избран именно в 1828 году. («Запоминалка» эта, кстати, отлично подходит и студентам-историкам: с помощью первых цифр числа e можно запомнить год избрания Джексона.)[33] Как тут не усомниться в иррациональной природе e? Ведь если бы последовательность 1828 повторялась бесконечно, e было бы обычным рациональным числом. Но нет, дальше идут 6 цифр… 459045… (лично я запомнил их как значения углов равнобедренного прямоугольного треугольника).
Вмешивается e и в вопросы вероятности. Предположим, что раз в неделю вы покупаете лотерейный билет с шансом выиграть приз 1 к 100. Какова вероятность того, что за 100 недель вы что-нибудь да выиграете? Каждую неделю ваш «коэффициент удачи» равен 1/100 = 0,01, а «коэффициент невезения» – 99/100 = 0,99. Так как количество билетов неограниченно (то есть удача на этой неделе никак не зависит от невезения на прошлой), за весь срок получаем
что очень близко
Нет, это не совпадение. Вспомните формулу, в которой мы впервые увидели e>x:
Если мы положим x = –1, то при любом большом значении n получим
Когда n = 100, (0,99)>100 будет примерно равно 1/e. То есть ваши шансы выиграть приз за 100 недель составляют 1 – (1/e) ≈ 64 %.
Одна из самых моих любимых задач, связанных с вероятностью, – задача о сочетании пар. Представьте себе класс, состоящий из n учеников. Учитель раздает им тетрадки с проверенным домашним заданием. Но то ли по рассеянности, то ли от усталости раздает он их как попало, в случайном порядке (то есть тетрадка может попасть как к своему хозяину, так и к любому другому ученику). Каков шанс того, что ни одна из тетрадок не попадет в «правильные» руки? Иными словами, если мы возьмем все числа от 1 до n и «перемешаем» их в произвольном порядке, какова вероятность того, что ни одно из них не совпадет со своей «правильной» позицией? Например, при n = 3 чи́сла 1, 2 и 3 можно «перемешать» 3! = 6 разными способами, но под наши условия подходят только два из них: 231 и 312. Следовательно, для n = 3 нужная нам вероятность составит 2 к 6 или 1 к 3.
С количеством тетрадей, равным n, существует n! возможных способов распределения их между учениками. Количество тех из них, которые соответствуют нашим условиям, обозначим как D>n. Тогда шанс того, что никто из учеников не получит свою тетрадку, составит p>n = D>n/n!. Если n равно 4, то D>n будет равно 9:
И тогда p>4 = D>4/4! = 9/24 = 0,375.
А вот каковы вероятности для других значений n:
С увеличением n значение pn будет все ближе и ближе подбираться к 1/e. И вот что самое удивительное: вероятность попадания тетрадок в руки их законных хозяев совершенно не зависит от количества учеников в классе, будь их десять, сто или миллион. И вероятность эта эти очень-очень близка к величине 1/e.
Но откуда берется это 1/e? В первом нашем представлении, с числом учеников, равным n, возможность каждого из них получить свою тетрадь составляет 1/n, а возможность получить чужую – 1 – (1/n). Возьмем последнюю величину и распространим ее на весь класс:
Почему приблизительно, спросите вы? Да потому что здесь, в отличие от задачи с лотерейными билетами, мы не сталкиваемся с последовательностью независимых друг от друга событий. Количество тетрадок ограничено, поэтому первое же «попадание» учителя в цель немного увеличит шансы второго ученика получить чужую тетрадку (то есть вместо 1/n мы будем иметь уже 1/(n – 1)), а первый же «промах» – немного уменьшит. Но так как и в том и в другом случае вероятность изменяется незначительно, на верности нашего представления это не слишком сказывается.
Точное же значение p>n основывается на бесконечной последовательности для e>x:
Если в этом уравнении мы подставим x = –1, у нас получится
То есть в классе, состоящем из n учеников, вероятность того, что никто из них не получит свою тетрадь, составляет
Каждый из нас способен умножать, делить, возводить в степень и производить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами — достаточно использовать простые приемы, описанные в этой книге. Они доступны для людей любого возраста и любых математических способностей.Эта книга научит вас считать в уме быстрее, чем на калькуляторе, запоминать большие числа и получать от математики удовольствие.
Книга известного американского антрополога, лингвиста и естествоиспытателя Франца Боаса содержит его взгляды на историю развития человеческой культуры и умственных способностей человека. Автор опровергает утверждение о существовании даровитых и менее одаренных рас; он показывает, что успехи и достижения различных рас, равно как и различия в их анатомических признаках, не являются доказательством различия их умственных дарований. Боас рассматривает вопрос об устойчивости человеческих типов, исследует влияние окружающей среды и наследственности на анатомическое строение и склад ума человека.
В монографии исследуются эволюция капиталистического отчуждения труда в течение последних ста лет, возникновение новых форм отчуждения, влияние растущего отчуждения на развитие образования, науки, культуры, личности. Исследование основывается на материалах философских, социологических и исторических работ.
Пища всегда была нашей естественной и неизбежной потребностью, но отношение к ней менялось с изменением социальных условий. Красноречивым свидетельством этого является тот огромный интерес к разнообразным продуктам питания, к их природе и свойствам, который проявляет сегодня каждый из нас. Только, достигнув высокого уровня жизни и культуры, человек, свободный от проблемы — где и как добыть пищу, имеет возможность выбирать из огромного ассортимента высококачественных продуктов то, что отвечает его вкусу, что полезнее и нужнее ему, и не только выбирать, но и руководить своим питанием, строить его сообразно требованиям науки о питании и запросам собственного организма.
В работе проанализированы малоисследованные в нашей литературе социально-культурные концепции выдающегося немецкого философа, получившие названия «радикализации критического самосознания индивида», «просвещенной общественности», «коммуникативной радициональности», а также «теоретиколингвистическая» и «психоаналитическая» модели. Автором показано, что основной смысл социокультурных концепций Ю. Хабермаса состоит не только в критико-рефлексивном, но и конструктивном отношении к социальной реальности, развивающем просветительские традиции незавершенного проекта модерна.
Пражская весна – процесс демократизации общественной и политической жизни в Чехословакии – был с энтузиазмом поддержан большинством населения Чехословацкой социалистической республики. 21 августа этот процесс был прерван вторжением в ЧССР войск пяти стран Варшавского договора – СССР, ГДР, Польши, Румынии и Венгрии. В советских средствах массовой информации вторжение преподносилось как акт «братской помощи» народам Чехословакии, единодушно одобряемый всем советским народом. Чешский журналист Йозеф Паздерка поставил своей целью выяснить, как в действительности воспринимались в СССР события августа 1968-го.
Книга посвящена первой успешной вооруженной революции в Латинской Америке после кубинской – Сандинистской революции в Никарагуа, победившей в июле 1979 года.В книге дан краткий очерк истории Никарагуа, подробно описана борьба генерала Аугусто Сандино против американской оккупации в 1927–1933 годах. Анализируется военная и экономическая политика диктатуры клана Сомосы (1936–1979 годы), позволившая ей так долго и эффективно подавлять народное недовольство. Особое внимание уделяется роли США в укреплении режима Сомосы, а также истории Сандинистского фронта национального освобождения (СФНО) – той силы, которая в итоге смогла победоносно завершить революцию.