Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [64]

Перед ними открывались три возможности. Либо за иррациональными числами (такими, как корень квадратный из двух) не признается статус «числа»; либо первоначальное понятие «числа» расширяется и оно начинает включать в себя и рациональные и иррациональные числа; либо в науке появляется нечто совершенно новое, и числа перестают коррелироваться исключительно с линиями. Греки после пифагорейцев выбрали третью возможность и на этом пути столкнулись с понятием математической бесконечности.

Чтобы рассуждать о бесконечности, им пришлось усовершенствовать дедуктивный метод. Преодолевая сложности решения отдельных задач с иррациональными числами, они по неосторожности допустили в свою логическую цепочку некоторые допущения. Эти допущения либо не замечались, либо игнорировались как не имеющие прямого отношения и несущественные для математики, пока ближе к концу XIX столетия они резко не заявили о себе в современной математике. Вот тогда-то в самых основах, на которых зиждилась вся математика начиная с XVII века, стали проявляться противоречия и парадоксы. Сначала все обнаружили несовершенное понимание математической бесконечности. Затем более тщательный анализ некоторых парадоксов бесконечности показал, что более серьезные трудности веками были скрыты в логике, которую великие математики от Древней Греции до конца XIX столетия считали отвечавшей требованиям математики и достаточной для ее развития.

На первый взгляд некоторые из этих логических упущений были странно нематематическими. Одни были того же рода, что и высказывание Эпименида Критского «о лживости критян». О других же поговорим, когда представится случай. Пока будет достаточно рассмотреть, как тщательно возделывалась почва для этой сорной травы математиками и логиками в интервале между Пифагором и Платоном.

Из трудов Платона ясно видно, насколько отчетливо он ощущал фундаментальные трудности для эпистемологии, создаваемые иррациональными числами. Борьба по их преодолению, возможно, частично послужила причиной предполагаемого отказа Платона от теории идеальных чисел. Некоторые исследователи считают, что в преклонном возрасте Платон разуверился в своем главном научном достижении – теории идеалов, убедившись если не в полной безнадежности этой теории, то в ее неосуществимости. Правда это или нет, но существенно другое. Один из величайших философов в истории счел необходимым направить основательные усилия на понимание природы чисел, в особенности иррациональных. Проблема иррациональных чисел сильно занимала Платона, и он ругал своих собратьев греков, что они все еще верят (в большинстве своем) вместе с пифагорейцами, что все «измерения» рациональны. «Кто не признает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, – заявлял Платон, – не человек, а животное».

Примитивное сознание, по-видимому, испытывает инстинктивный ужас перед бесконечностью – беспредельной, безграничной, бескрайней – в любой из многочисленных форм, в которых бесконечность вынуждает обращать на себя внимание даже дикарей. Знакомые объекты их повседневной жизни кажутся им статичными и по существу неизменными, каждый со своей собственной, постоянно распознаваемой индивидуальностью. Дерево росло здесь, на этом самом месте, сегодня и не исчезало завтра. Оно могло считаться живым, и, без сомнения, в нем укрывался дух, но это было одно и то же дерево, а не другое каждый новый день. Но ветер был динамичным, изменяющимся от момента к моменту, он непрерывно менялся по силе и направлению. Ветер находился вне человеческой власти – «ветер веет где хочет», и его появление и его исчезновение были недоступны человеческому зрению. В некотором смысле ветер оказывался более живым, нежели камни и деревья; ведь ветер никоим образом не был ограничен ни местом, ни временем. Спустя столетия, когда люди научились свободно и без страха считать, предметы, которые были ограничены своим местом в пространстве, как галька и деревья, подчинились правилам чисел и были сосчитаны. Но ветры и непрерывно текущие воды рек и ручьев избежали владычества человека. Что позволяло им перемещаться с места на место и при этом оставаться неизменными во времени, оставалось тайной, и они не поддавались подсчету. Движение ускользало от чисел. Движение оставалось безграничным, бескрайним, бесконечным, не единицей и все-таки не множеством, как, например, горсть гальки.

Но много раньше этого инстинктивного осознания существования неисчислимой бесконечности не столь значительная, но все-таки достаточно тревожащая душу бесконечность появилась из, казалось бы, поддающейся пересчету природы. «Натуральные числа», которыми нумеровались камни и деревья, как выяснилось, не имели конца, хотя осязаемые предметы, обозначенные числами, можно было собрать в конечное множество. Что считали числа, когда все предметы в мире и все звезды в небе были пересчитаны? Хотя человек легко представлял конец всему количеству исчисляемых осязаемых предметов, разуму не удавалось постичь, где лежит предел числам и как выглядит самое большое число, которое уже не превысит никакое другое. Что тогда останется считать во вселенной числам, которые самопроизводились, если только не сами числа? Ничего. Получалось, числа существовали сами по себе. Поэтому пифагорейцы придумали, а за ними в это поверили и все, кто верил им, что числа не были изобретены людьми, а были обнаружены и записаны.