Логика и аргументация - [40]

Теперь наступило время перейти к более глубокому анализу высказываний, связанному с изучением их внутренней логической структуры. Уже традиционная логика в своем учении о силлогизмах опиралась на субъектно-предикатную структуру суждений и учитывала их количественную характеристику с помощью таких слов, как "все", "любой", "каждый", "никакой", "некоторые" и т.п.

Как отмечалось в гл. 1, современная логика отличается от традиционной как по глубине и точности исследования, так и по широте применения своих методов. Если традиционная логика ограничивалась логическим анализом отношений между предметами и их свойствами, то современная логика анализирует различные отношения между самими предметами. В результате логика свойств выступает хотя и как важный, но частный случай логики отношений. Тем не менее и с исторической и с практической точек зрения представляется целесообразным обсудить в этой главе элементы теории силлогизмов, во-первых, потому, что такие умозаключения широко используются в повседневных и даже научных рассуждениях, во-вторых, потому, что читатель может сравнить традиционный подход с современным и убедиться в значительной эффективности и точности последнего.

4.1. Свойства, отношения и предикаты

Свойства вещей реального мира представляют собой результат взаимодействия их с другими вещами, ибо без этого они не могли бы проявиться и мы не были бы в состоянии судить о них. В самом деле, мы говорим, например, что алмаз является самым твердым минералом, а графит - мягким потому, что они различаются по свойству твердости и пластичности.

В традиционной логике свойство отображается в суждении предикатом, а вещь, которой принадлежит это свойство, - субъектом. Следует, однако, различать субъект и предикат в грамматике и логике, подобно тому как мы различаем предложение и суждение (высказывание) Суждения, имеющие субъектно-предикатную структуру, отображают часто встречающиеся в действительном мири связи между вещами, событиями и явлениями, с одной стороны, и их свойствами и признаками, с другой. Именно эти связи и стали предметом изучения традиционной логики. Хотя различные виды отношений, такие, как "больше", "меньше", "выше", "ниже", "дальше", "ближе" и т.п., не говоря уже об отношениях родства встречаются часто, но традиционная логика либо совершенно не интересовалась логическим анализом отношений, либо пыталась свести их к субъектно-предикатной структуре.

Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства, неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно производить над отношениями.

С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.

Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя - тернарным и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.

Символически это представляется так:

Р (x₁ , x₂ ,..., х_n ),

где Р обозначает предикат, a x₁ , x₂ ,..., х_n - соответствующие объекты. Если n = 0, тогда предикат будет нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при n = 1 предикат представляет свойство, при n = 2 - бинарное отношение, при n = 3 - тернарное отношение и т.д.

С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания. Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов действительно студент, то он будет удовлетворять функции Р(х), где Р обозначает свойство "быть студентом". Аналогично, если Ч(х) обозначает свойство "быть четным числом", то число 4 удовлетворяет этой функции, а число 5 - нет. Обратите внимание, что в этом случае вместо обычных чисел аргументами служат высказывания о числах.

Предикат Р(х,у) является пропозициональной функцией от двух аргументов и выражает бинарное отношение между двумя объектами, например "Москва южнее, чем С.-Петербург". В данном случае предикат Р обозначает отношение "быть южнее". Если вместо "Москвы" взять "Мурманск", то получится ложное высказывание. Отсюда становится ясно, что предикат или пропозициональная функция сами по себе не являются высказываниями, и потому не могут считаться ни истинными _ни ложными. Они становятся истинными или ложными высказываниями после того, как вместо их аргументов подставляются конкретные высказывания. Такой функциональный подход к предикатам дает возможность обращаться с ними как со специальными видами функций, аргументами которых являются не математические, а логические объекты, а именно высказывания.