Измерения и меры - [8]

Оказывается, решить эту задачу довольно просто. Если вынутый карандаш снова опускать обратно, запомнив его цвет, потом, перемешав карандаши, вынимать новый, и так проделать много раз, то окажется, что число вынутых карандашей каждого цвета будет пропорционально их числу в ящике. Так, если приблизительно ¹/₂ вынутых карандашей имеет зелёный цвет, ¹/₅ красный и ³/₁₀ синий, то в ящике находятся 5 зелёных карандашей, 2 красных и 3 синих. Ведь чем больше карандашей определённого цвета, тем больше вероятность вынуть карандаш, окрашенный именно в этот цвет.

Вот те краткие сведения из теории вероятностей, которые необходимы нам для того, чтобы разобраться в характере случайных погрешностей.

ПОЧЕМУ ГОВОРЯТ: «СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ, ОДИН — ОТРЕЖЬ»?

На рис. 20 изображён несложный прибор, который поможет нам ответить на этот вопрос. Вы видите наклонную доску, укреплённую на подставке. В верхнюю, треугольную часть доски вбито большое число булавок. В нижней прямоугольной части имеется ряд узких продольных пазов, хорошо видимых на рисунке. У вершины «треугольника» закреплена обыкновенная воронка.

Если в воронку опустить шарик, то он, катясь по наклонной доске, будет встречать на пути булавки и при каждом столкновении отклоняться влево или вправо, пока не попадёт в один из пазов.

На первый взгляд кажется, что если опускать в воронку строго одинаковые шарики, то все они проделают один и тот же путь и очутятся в одном и том же пазу. На деле же так не получается.

Рис. 20. Прибор для изучения случайных погрешностей.

Рис. 21. Кривая Гаусса.

Существует множество явлений, влияющих на движение шарика. Достаточно, например, едва заметно толкнуть доску, чтобы его путь изменился. Причины, вызывающие изменение пути, носят случайный характер. Поэтому всякое отклонение от наиболее вероятного пути представляет собой случайную погрешность.

Посмотрим, что получится, если опускать в воронку один за другим большое количество шариков. Из многочисленных опытов выяснилось, что шарики размещаются в пазах по вполне определённому закону, образуя фигуру наподобие той, что изображена на рис. 21, а. Чем больше шариков, тем ближе очертания этой фигуры к кривой, показанной на рис. 21, б. Здесь по вертикали откладывается число шариков, а по горизонтали влево и вправо от середины кривой — отклонение от наиболее вероятного пути, то есть величина случайной погрешности. Таким образом, кривая рис. 21, 6 изображает распределение случайных погрешностей.

Впервые эта закономерность была установлена в прошлом веке выдающимся немецким математиком Гауссом, и поэтому она носит его имя. О чём говорит кривая Гаусса?

Из неё следует, во-первых, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие, и, во-вторых, что при многократных измерениях одинаково часто наблюдаются случайные погрешности, которые равны по величине, но отклоняют результат измерения в разные стороны от действительной величины.

И на самом деле, поскольку погрешности носят здесь случайный характер, то вероятность отклонения как в сторону преувеличения, так и в сторону преуменьшения одинакова (в обоих случаях она равна ¹/₂).

Отсюда следует, что если сложить полученные значения измеряемой величины, то при достаточно большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но действующие в разные стороны, уравновесят друг друга. Если теперь сумму полученных значений разделить на число измерений, то в результате получится величина, близкая к действительному значению. Эту величину называют средним арифметическим полученных значений.

Чем больше число измерений, тем ближе среднее арифметическое к действительному значению измеряемой величины. Таким образом, с увеличением числа измерений точность измерения возрастает благодаря устранению случайных погрешностей. Вот, оказывается, в чём смысл мудрой народной пословицы.

ВРЕДНАЯ «ТОЧНОСТЬ»

Производя измерения, нужно стремиться к тому, чтобы они были как можно точнее. Но иногда неоправданная погоня за точностью приводит к заблуждениям и ошибкам. Вот как это получается.

Представьте себе, что вам нужно узнать, во сколько раз один отрезок прямой линии длиннее другого. Вы берёте обыкновенную линейку с миллиметровыми делениями и поочерёдно измеряете оба отрезка.

Положим, результат одного измерения — 80 миллиметров, а другого — 30 миллиметров. Теперь нужно разделить большую величину на меньшую. Получается 2,6666666666… Сколько ни продолжать деление, в остатке всё время оказывается цифра 6. Значит, ответ нужно округлить.

Но на каком знаке после запятой остановиться? Ведь можно написать 2,7, или 2,67, или 2,667 и т. д. Неопытный человек, стремясь получить как можно более точный результат, напишет после запятой целую вереницу цифр, что-нибудь вроде 2,666667. Точен ли такой ответ?

Пользуясь обычной линейкой, можно производить измерения с погрешностью приблизительно до 0,5 миллиметра. Поэтому в действительности длины измеренных отрезков несколько отличаются от 80 и 30 миллиметров. Пусть фактическая длина одного отрезка — 80,356 миллиметров, а другого — 29,679 миллиметра. Посмотрим, чему равен теперь результат деления. Оказывается, он существенно иной — 2,707… Выходит, число 2,666667 ошибочно. Гораздо ближе к истинному был бы в нашем примере как раз наиболее округлённый ответ — 2,7.