Истина и красота: Всемирная история симметрии [заметки]

1

Консул Ост-Индийской компании в Багдаде. (Примеч. перев.)

2

Государство Селевкидов существовало со времени вскоре после смерти Александра Великого (формально — с момента утверждения Селевка в Вавилоне в 312 г. до Р.Х.) и до присоединения остатков некогда обширных территорий Римом (династия окончательно отлучена от правления, даже номинального, в 63 г. до Р.Х., но государство пришло в упадок значительно раньше). Получить «пять веков» обычными арифметическими действиями не представляется возможным. Государство Селевкидов было частью эллинистического мира; в эллинистическое же время жили, в частности, Эвклид, Архимед и Аполлоний, влияние которых в любом эллинистическом государстве не могло не ощущаться. (Примеч. перев.)

3

Зависит, и весьма часто. В русском языке, например, качество гласного звука зависит от его расстояния от ударного слога. В английском же имеется довольно явное влияние букв в слове друг на друга — например, в создании дифтонгов и в механизме открытия слогов. В ирландском языке такая согласная, как «m», имеет «полностью различные значения» — звук «м» или звук «в» — в зависимости от положения в слове (так называемые сильные и слабые позиции). (Примеч. перев.)

4

Вавилонское значение вычисляется как 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,4142129…, а √2 = 1,4142135. Разница составляет около шести десятимиллионных. (Примеч. перев.)

5

Александрия выгодно использовала торговлю с Востоком, однако для сообщения с Красным морем надо было пересечь дельту Нила и далее двигаться по суше. (Примеч. перев.)

6

Действительно, Луна близка и хорошо видна. Ситуация приобретает несколько большую остроту в том, например, случае, когда астроном сумел сделать лишь небольшое число наблюдений над каким-либо телом и исходя из них хочет узнать характер его дальнейшего движения. (Примеч. перев.)

7

Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.)

8

Именно неидеальность линий требует специальных правил, оговаривающих «черту» в различных видах спорта. (Примеч. перев.)

9

О Диофанте пишет около 350 года от Р.Х. Феон Александрийский. Диофантова Arithmetica посвящена «достопочтеннейшему Дионисию», который может быть епископом Дионисием Александрийским (середина III века от Р.Х.). Диофант мог родиться между 200 и 214, а умереть между 284 и 298 годами. (Примеч. перев.)

10

Или «сокращение и сравнение», или «восстановление и противопоставление». (Примеч. перев.)

11

ааба или аааа. (Примеч. перев.)

12

Марка Аврелия, римского императора с 161 по 180 г. (Примеч. перев.)

13

Не без некоторых потерь:

«…и Солнце, и обе зловещие планеты — Венера и Меркурий — находились в человеческих знаках, вследствие чего у меня и не обнаружилось отклонений от человеческого образа; а так как в асценденте был Юпитер и во всем гороскопе господствовала Венера, у меня обнаружились неправильности только в половых органах: случилось так, что в возрасте от 21 до 31 года я оказался не способен к совокуплению с женщинами и часто горько оплакивал свою участь, завидуя судьбе других людей». (Примеч. перев.)

14

Лат.: Ars Magna. (Примеч. перев.)

15

По-английски «calculus» означает «исчисление», наиболее часто — в значении «дифференциальное и интегральное исчисление». По-русски этот же предмет называется математическим анализом или, когда контекст ясен, просто анализом (откуда производится и прилагательное «аналитический»). (Примеч. перев.)

16

Игра ума. (Примеч. перев.)

17

В традиционной транслитерации — Сципион. (Примеч. перев.)

18

В английском оригинале имена даются также многочленам степеней 4, 5 и 6: они произведены от соответствующих слов «квартика», «квинтика» и «секстика», которые мы также будем иногда употреблять, называя уравнения четвертой и пятой степени соответственно квартикой и квинтикой (а третьей степени заодно — кубикой). (Примеч. перев.)

19

О комплексной плоскости — плоскости комплексных чисел — рассказано ниже в главе 9. (Примеч. перев.)

20

Здесь q — комплексное число, определяемое точкой на левом рисунке, т.е. вершиной правильного n-угольника, ближайшей к 1 в направлении против часовой стрелки. Оно, конечно, зависит от выбранной степени п корня. (Примеч. перев.)

21

В честь римской богини плодородия — покровительницы Сицилии. (Примеч. перев.)

22

Чтобы преподавать в университете (а не в школе), помимо защиты «кандидатской» диссертации требовалось получить более высокую, вторую степень, называемую Habilitation; для этого необходимо было подготовить текст диссертации и прочитать лекцию. (Примеч. перев.)

23

Этот слегка жаргонный термин следует понимать так, как сказано в примечании [15]. (Примеч. перев.)

24

Лагранж родился в 1736 году, когда Турин был частью (де факто столицей) королевства Пьемонт-Сардиния, как тогда назывались владения Савойской династии. (Примеч. перев.)

25

Как можно понять, Абель болел и умер в доме, где хозяйкой была Катарина Трешов, а Иоанна Ханстеен — жена его учителя Ханстеена. (Примеч. перев.)

26

Фамилия Galois у Коши написана как Galoi, что произносится так же, но тем не менее представляет собой заметную неточность в написании. (Примеч. перев.)

27

Компромисс в том смысле, что король был свергнут, однако монархия сохранена. (Примеч. перев.)

28

Отец. (Примеч. перев.)

29

На тот случай, если у читателя накопилось недоумение по поводу «перегрузки» слова «степень», признаем очевидное — употребительных слов в русском языке несколько меньше, чем в английском, поэтому приходится смириться с тем, что «степень» обозначает и степень уравнения (например, x³ + x + 1 = 0 — уравнение третьей степени), и степень числа (например, 81 есть 3 в четвертой степени). (Примеч. перев.)

30

Левая часть этого уравнения. (Примеч. перев.)

31

Название «трансцендентные» указывает на вещи, которые «выходят за пределы», «преступают границы», «не поддаются включению». (Примеч. перев.)

32

Что означает «интеграл от достаточно сложной функции». (Примеч. перев.)

33

В немецкой системе «полный профессор» (если использовать уже утвердившееся у нас англосаксонское выражение) назывался ординарным профессором. Предыдущая должность — это Assistant Professor, или «экстраординарный профессор», — примерно наш доцент. (Примеч. перев.)

34

На анимированное построение правильного 17-угольника можно посмотреть по адресу:

http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon. (Примеч. перев.)

35

Вероятно, придумана Дж. Литлвудом. (Примеч. перев.)

36

Ничего не поделаешь; однофамильцем нашего Гамильтона является, например, Л. Хэмилтон — британский обладатель чемпионского титула в гонках класса «Формула 1» — но традиционное написание есть традиционное написание (плюс к тому в физике и математике укоренилось немало производных от имени Гамильтона, например, «гамильтониан»). Других примеров традиционного русского написания в этой книге немало. Скажем, все «простые» французы по имени Charles — Шарли, но короли, носящие то же имя, — Карлы; Исаак Ньютон, но Айзек Азимов и т.д. (Примеч. перев.)

37

Читатель мог встречать следующую распространенную формулировку этого утверждения: угол падения равен углу отражения. (Примеч. перев.)

38

Curragh, графство Килдейр (Kildare, Chill Dara). (Примеч. перев.)

39

Читателя может заинтересовать взгляд на излагаемый здесь ход событий как на «подложную историю чисел», изложенный в книге Дж. Дербишира «Простая одержимость», которая выйдет в издательстве Corpus. (Примеч. перев.)

40

Willem van Oranje (1533–1584) — принц Оранский, граф Нассауский, первый статхаудер Голландии и Зеландии, один из лидеров Нидерландской революции. (Примеч. перев.)

41

Здесь i обозначает √−1 (см. главу 5). Под «кратными» понимаются числа вида i∙(вещественное число). (Примеч. перев.)

42

На массивной каменной основе моста, со стороны, обращенной к каналу, укреплена каменная плита со словами:

Here as he walked by

on the 16th of October 1843

Sir William Rowen Hamilton

in a flash of genius discovered

the fundamental formula for

quaternion multiplication

i² = j² = k² = ijk = −1

& Cut It On A Stone Of This Bridge

Последняя строка читается не без некоторого труда из-за сколов на камне. Кладка моста весьма грубая, так что называть вандалом того, кто нацарапал на ней нечто осмысленное, можно лишь с довольно большой натяжкой. (Примеч. перев.)

43

В самом деле, об этом ясно говорят формулы выше (i² = j² = k² = ijk = −1). (Примеч. перев.)

44

Дифференциальные уравнения — это выражение того, как связаны эти скорости изменения с разнообразными действующими факторами. Решение же дифференциального уравнения как раз должно восстановить отсюда (и из начальных условий) поведение самой величины. (Примеч. перев.)

45

«Положительное целое», — не удержится и уточнит математик. (Примеч. перев.)

46

И, конечно, того случая, когда A и B суть вращения вокруг одной и той же оси (т.е. в одной и той же плоскости); для них коммутатор равен нулю точно так же, как коммутатор в группе SO(2). (Примеч. перев.)

47

Пауля Гордана. Гильберт, впрочем, оказал значительное влияние на Нетер — уже сформировавшегося математика, — когда та в 1916 году переехала в Геттинген. (Примеч. перев.)

48

Университет в Мюнстере стал в 1805 году Прусским университетом Вестфалии; с 1907 года он называется Westfälische Wilhelms-Universität по имени кайзера Вильгельма II. (Примеч. перев.)

49

Семействам потому, что при каждом n = 2, 3, … имеется своя алгебра Ли каждого вида. (Примеч. перев.)

50

Пожалуй, современный ответ на этот вопрос — тем, что это размерности исключительных алгебр Ли. (Примеч. перев.)

51

В этой фразе неразделимо и неразличимо соединены два фундаментальных факта. 1. Эрстед открыл, что электрический ток, выражаясь современным языком, создает магнитное поле. 2. Основное «электромагнитное» достижение Фарадея — открытие в некотором роде обратного эффекта: при изменении потока магнитного поля, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает электрический ток. Это явление называется электромагнитной индукцией; его «двойственный» вариант состоит в том, что виток с переменным током испытывает силу стороны магнитного поля, что и составляет принцип работы электродвигателя. (Примеч. перев.)

52

Для «истории симметрии» небезынтересен тот факт, что, когда Максвелл сформулировал на математическом языке все известные к тому времени экспериментальные сведения об электричестве и магнетизме, полученные уравнения оказались внутренне противоречивыми — из них следовало нечто типа «равенства» 1 = 0. Руководствуясь внутренней симметрией уравнений, Максвелл «руками» добавил в одно из них дополнительное слагаемое, так что уравнения стали более симметричными, а вместо противоречивого равенства из них получалось волновое уравнение. (Примеч. перев.)

53

Краткое название этого института — «Высшей технической школы» — традиционно переводится на русский как «Политехникум», однако в современном употреблении чаще используется оригинальная аббревиатура ETH. (Примеч. перев.)

54

Об эфире подробнее говорилось выше. (Примеч. перев.)

55

Их дочь Лизерль родилась в январе 1902 года; упоминания о ней после 1903 года отсутствуют. В июле 1910 года родился их второй сын Эдуард. А. Пейс пишет, что «от отца Эдуард унаследовал черты лица и музыкальность, от матери — склонность к меланхолии. Позднее Эдуард увлекся искусством — писал стихи. Он хотел стать психиатром и изучал медицину, но цели своей не достиг», и добавляет: «Эйнштейн довольно скоро заметил у младшего сына признаки раннего слабоумия. После многих злоключений Эдуард попал в цюрихскую лечебницу, где и умер в 1965 г.». (Примеч. перев.)

56

Название «броуновское» относится к числу традиционно установившихся терминов, и лишь немногие говорят (и почти никто не пишет) «брауновское». (Примеч. перев.)

57

Закон броуновского движения Эйнштейна был экспериментально подтвержден в 1908 году Ж. Перреном. (Примеч. перев.)

58

Здесь и далее изложение грешит смешением двух понятий. При сдвигах или поворотах, о которых только что говорилось, как и при сдвигах по времени (изменениях «начального» момента), уравнения Максвелла — «недавно открытые законы электричества и магнетизма» — сохраняют свой вид, причем довольно банальным образом. Интересные же явления — такие как вовлечение времени в преобразования — начинают происходить при движении одного наблюдателя относительно другого. Математически уравнения Максвелла и законы Ньютона обладают разными симметриями — преобразованиями, которые надо сделать для согласования описаний, получаемых двумя наблюдателями, движущимися друг относительно друга с постоянной скоростью. Суть проблемы в том, что уравнения Максвелла сохраняют свой вид для всех таких наблюдателей, если соответствующие преобразования другие, чем в ньютоновской механике. Об этом будет явно сказано дальше. (Примеч. перев.)

59

Верно, если для согласования описаний в разных инерциальных системах отсчета применять не ньютоновские преобразования. Проблема состояла именно в наличии двух разных симметрий. (Примеч. перев.)

60

Симметрии уравнений Максвелла были известны до Эйнштейна. Также до Эйнштейна делались разнообразные попытки примирить эти симметрии с симметриями ньютоновской механики. Ключевой шаг, сделанный Эйнштейном, состоял в провозглашении того физического принципа, что это примирение не требуется, поскольку ньютоновская механика перестает быть верной при больших скоростях движения. (Примеч. перев.)

61

Чуть меньше, чем 300 000 километров в секунду. (Примеч. перев.)

62

«Истинная теория» в данной фразе ничего не значит. Принцип эквивалентности верен локально (т.е. в малом). Именно таков фундаментальный постулат эйнштейновской теории гравитации. (Примеч. перев.)

63

Ошибка автора. Скорость изменения здесь ни при чем. Тензор Эйнштейна пропорционален тензору энергии-импульса, и все. Кстати, тензор Эйнштейна — это «почти» упоминавшийся выше тензор Риччи, отсюда и его связь с кривизной, упомянутая в следующей фразе. (Примеч. перев.)

64

Чуть выше речь шла о свете, а теперь — об электромагнитном излучении. Эти слова в данном контексте надо воспринимать как синонимы. (Примеч. перев.)

65

Бессмыслица. Постоянная Планка очень мала, но минус тридцать четвертая степень определяется тем, в каких единицах она выражается. Например, если вместо джоулей использовать килоджоули, то показатель степени будет равен не −34, а −37. А если вместо секунд использовать часы, то величина постоянной Планка будет выражаться числом, в 3600 раз большим. Пожалуй, в данном абзаце верно лишь то бесспорное утверждение, что да, постоянная Планка чрезвычайно мала по сравнению со всеми измеряемыми в джоуль-секундах величинами, с которыми мы обычно сталкиваемся. (Об этих величинах говорят как о макроскопических.) (Примеч. перев.)

66

Фотоэффект есть испускание веществом электронов под действием света. (Прим. перев.)

67

Несколько перегруженное высказывание. Речь может идти об уровнях энергии в самом атоме водорода; спектр же — то есть излучаемые атомом волны определений длины — есть лишь свидетельство об этих уровнях энергии (или способ экспериментального доступа к ним). (Примеч. перев.)

68

Дон — преподаватель, член совета колледжа в Кембридже или Оксфорде. (Примеч. перев.)

69

Быть может, уместно напомнить, что Республика Ирландия (столица — Дублин; англ. Dublin, ирл. Baile Átha Cliath) придерживалась нейтралитета во Второй мировой войне. (Примеч. перев.)

70

Будем считать, что под шредингеровскими волнами понимаются решения уравнения Шредингера. Как указывал автор, это уравнение играет фундаментальную роль в квантово-механическом описании материи, однако это описание носит не вполне непосредственный характер, а потому имеются вопросы (обсуждаемые до сих пор) о том, «что же значат» эти решения «сами по себе», то есть об их интерпретации. (Прим. перев.)

71

Кот помещен в закрытый ящик, где имеется механизм, содержащий радиоактивное ядро и емкость с ядовитым газом. Вероятность распада ядра в течение часа составляет 50%. Если ядро распадается, то открывается емкость с газом и кот умирает. Согласно квантовой механике, пока над ядром не производится наблюдения, его состояние описывается суперпозицией двух состояний — распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот в ящике и жив, и мертв одновременно. Но, когда ящик открывают, экспериментатор увидит только какое-нибудь одно конкретное состояние — «ядро распалось, кот мертв» или «ядро не распалось, кот жив». Когда же кот умирает? См. также:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Koт_Шpёдингep. (Примеч. перев.)

72

Квантово-механическая сложность при описании микроскопических частиц состоит в том, что частица (скажем, электрон) обладает или определенной координатой, или определенной скоростью (см. о принципе неопределенности ниже). Кот же, как мы знаем, обладает этими двумя характеристиками одновременно. (Примеч. перев.)

73

Т.е. те самые числа, которые и составляют список (лучше — таблицу), называемый матрицей. (Примеч. перев.)

74

Об экспедиции Эддинггона говорилось в главе 11. «Популяризировал» теорию относительности именно Эддингтон. Измерения же в Собрале оказались как раз ближе к предсказанию ньютоновской теории, однако эти данные были отвергнуты из-за обнаруженного в телескопах дефекта. (Примеч. перев.)

75

Матрицы можно перемножать друг с другом определенным способом, который снова дает матрицу и при этом обобщает умножение чисел в том смысле, что если матрицы состоят из одного-единственного числа каждая, то умножение совпадает с обычным умножением; но в общем случае результат произведения двух матриц, в отличие от произведения чисел, зависит от порядка сомножителей. (Примеч. перев.)

76

Мир, в котором все частицы были бы безмассовыми (подобно фотону), был бы более симметричен, чем мир с массивными частицами. К тому же массы элементарных частиц порой различаются достаточно сильно — для чего тоже хотелось бы найти какую-нибудь причину. (Примеч. перев.)

77

Лавочный мост (Krämerbrücke), Зеленый мост (Grüne Brücke), Рабочий мост (Koettelbrücke), Кузнечный мост (Schmiedebrücke), Деревянный мост (Holzbrücke), Высокий мост (Hohe Brücke) и Медовый мост (Honigbrücke). (Примеч. перев.)

78

В письме Калуце от 21 апреля 1919 года Эйнштейн подтвердил, что несколько дней назад получил его статью. 29 мая 1919 года Эйнштейн написал Калуце письмо с пожеланием, чтобы тот устранил некоторые неясности в своей объединенной теории, и посоветовал направить работу для публикации в Mathematische Zeitschrift, предложив, кроме того, «замолвить слово» перед редакторами этого журнала. Калуца занялся тем, на что указал Эйнштейн, но в конце концов оставил эти попытки, признав, что не может полностью прояснить проблему, и в окончательном варианте статьи отозвался о ней как о «серьезной трудности». (Примеч. перев.)

79

Не будем забывать, что электромагнетизм требует шести чисел в каждой точке пространства. Если в данной точке эти числа такие-то, то в соседней, вообще говоря, уже другие. Поэтому электромагнетизм — как и всякая теория поля — требует бесконечного числа переменных. (Примеч. перев.)

80

Постоянная Планка и так называемая планковская длина измеряются в различных единицах, а потому их нельзя непосредственно сравнивать. (Постоянная Планка измеряется в Дж/с, а планковская длина, как и полагается длине, в метрах.) Планковская длина, однако, «содержит» в себе постоянную Планка: она построена из фундаментальных физических констант (самой постоянной Планка, а также скорости света и гравитационной постоянной) таким образом, чтобы получилась именно длина. Известные численные значения фундаментальных констант и дают значение 10⁻³⁵ м. «Малость» этой величины определяется в том числе и малостью постоянной Планка. (Примеч. перев.)

81

Если не считать осложнений с той последней, пятнадцатой, компонентой, оставшейся неучтенной (см. выше). Ее некуда было пристроить. (Примеч. перев.)

82

Наука не стоит на месте. Есть — и используются — также симметрии с более хитрой алгебраической структурой. (Примеч. перев.)

83

Квантовая электродинамика, как видно уже из названия, соединяет в себе идею о квантовании и электродинамику. Про теорию относительности она ничего нового не говорит, поскольку «относительность» уже встроена внутрь максвелловской (т.е. неквантовой, классической) электродинамики именно в виде симметрии относительно группы Лоренца, о которой говорится в следующем абзаце. В классической электродинамике имеются и Лоренцева, и калибровочная симметрии. Задача квантовой электродинамики, повторимся, состояла в перенесении описания электромагнетизма (с сохранением данных симметрий) в квантовую область. (Примеч. перев.)

84

Серьезная путаница. При калибровочных преобразованиях фаза световой (электромагнитной) волны остается неизменной. Фазовые преобразования в электродинамике относятся не к свету, а к полю, описывающему частицы, которые излучают и поглощают свет (например, электроны и позитроны). Имеющуюся в этом поле «фазу» роднит с фазой электромагнитной волны лишь название. Смысл же калибровочной инвариантности состоит в том, что если в каждой точке пространства произвольным образом изменить фазу электрон-позитронного поля, то найдется компенсирующее преобразование электромагнитного поля. (Этот факт не может, кроме того, следовать из аргументов, неожиданно привлекающих к рассмотрению галактику Андромеда.) (Примеч. перев.)

85

Квантовая хромодинамика сама по себе не является какой-либо объединенной теорией. Она описывает сильные взаимодействия. (Примеч. перев.)

86

Все же атомы представляют собой единое целое благодаря электромагнитному притяжению между электронами и находящимися в ядре протонами. Атомные ядра существуют — являются стабильными или квазистабильными образованиями — благодаря сильным взаимодействиям между протонами и нейтронами. Деление ядер высвобождает часть энергии сильных взаимодействий, которые в случае реализации цепной реакции имеют в качестве довольно непосредственных проявлений атомную бомбу и Солнце. (Примеч. перев.)

87

Около 10⁻¹⁸ м, что примерно в 1000 раз меньше диаметра атомного ядра. Для «истории симметрии» может показаться интересным, что при ядерных превращениях, обусловленных слабым взаимодействием, нарушается зеркальная симметрия — симметрия между правым и левым. (Примеч. перев.)

88

Сама идея о «размазанности» электрона — это уже интерпретация некоторого квантово-механического факта, имеющего отношение к вероятности. А не наоборот. (Примеч. перев.)

89

Речь идет главным образом об атомных ядрах, а не о самих атомах. (Примеч. перев.)

90

Это обсуждалось в главе 12. (Примеч. перев.)

91

«Нечетные» — частицы со спином, выражающимся как нечетное кратное спина электрона; «четные» — со спином, выражающимся как четное кратное спина электрона. (Примеч. перев.)

92

Часть фразы про отрицательные спины лучше всего полностью проигнорировать. (Примеч. перев.)

93

Шифрованный роман Джеймса Джойса. (Примеч. перев.)

94

Подразумевается, что кварки участвуют в сильном взаимодействии. Причина же, по которой кварк и антикварк не аннигилируют, состоит вовсе не в этом, а просто в том, что складывающиеся из них частицы включают кварки и антикварки другого аромата, которые просто не являются античастицами друг для друга, а потому и не аннигилируют. (Примеч. перев.)

95

Т.е. целыми кратными заряда электрона (или, что то же с точностью до знака, протона). (Примеч. перев.)

96

Ясно, что Вселенная может быть «заполнена» лишь дальнодействующими полями, т.е. теми, у которых большой («бесконечный») радиус действия. (Примеч. перев.)

97

Электрон, мюон и тау-лептон, а также электронное («обычное») нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино не складываются из кварков. (Примеч. перев.)

98

Описание в терминах кварков и глюонов (оно относится к частицам, участвующим в сильном взаимодействии) известно как квантовая хромодинамика. Стандартная Модель помимо квантовой хромодинамики опирается и на другие идеи, главная из которых — спонтанное нарушение симметрии. Поле, которое должно участвовать в этом процессе — так называемое поле Хиггса, — возможно, будет обнаружено на Большом адронном коллайдере к тому времени, как эта книга доберется до читателя. (Примеч. перев.)

99

Конечно, в зависимости от того, что понимается под законами. Например, электрический заряд up-кварка равен ²/₃, а down-кварка — −¹/₃. Электромагнитное взаимодействие заведомо не будет «работать по-прежнему» после замены одного на другой. (Примеч. перев.)

100

Группа SU(1) состоит из единственного элемента — единицы — и поэтому совершенно не интересна. Группа же U(1) содержит бесконечно много элементов (правда, закон умножения в ней коммутативен, что и есть причина ее отсутствия в списке простых групп Ли). (Примеч. перев.)

101

Вомбаты — семейство двурезцовых сумчатых; это роющие норы травоядные животные, внешне напоминающие маленьких медведей. (Примеч. перев.)

102

Состоящая из ионов — атомов, от которых отделено некоторое число их электронов — и самих этих электронов по отдельности. (Примеч. перев.)

103

Цель гиббсовских лекций — «предоставить широкой публике и научной общественности возможность ознакомиться с вкладом математики в современное мышление и цивилизацию». (Примеч. перев.)

104

Многочлены Джонса были изобретены в 1983 году В. Джонсом. Виттен вывел их из «квантовой теории поля», что позволило построить дальнейшие, далеко идущие обобщения. (Примеч. перев.)

105

Яу Шинтан, или Цю Чентун. (Примеч. перев.)

106

Но, разумеется, не преобразованием симметрии пробки. (Примеч. перев.)

107

Увы, вычисления приходится выполнять дважды. Приз же состоит в том, что полная теория — с учетом и бозонов, и фермионов — обладает значительно улучшенными свойствами по сравнению с каждой из своих «половинок». (Примеч. перев.)

108

Сама по себе суперсимметрия прекрасна настолько, что массы частицы и отвечающей ей суперчастицы с неизбежностью равны. Большие значения масс счастиц определяются не самой суперсимметрией, а тем, как она нарушена в реальном мире, точнее — в Стандартной Модели и ее обобщениях. (Примеч. перев.)

109

О них говорится в главе 13. (Примеч. перев.)

110

Адроны — частицы, участвующие в сильных взаимодействиях, и только они. (Примеч. перев.)

111

Все, которые там постоянно живут. (Примеч. перев.)

112

Об этом говорилось в главе 13. (Примеч. перев.)

113

Здесь и далее: размерность 26 относится к струне без суперсимметрии, о которой говорилось выше; она же — только что появившаяся в тексте бозонная струна. Струна «с модификациями», для которой существенна размерность 10, — это суперструна в том или ином ее описании. «Волшебная» размерность 26 для бозонной струны была открыта в начале 70-х годов, причем не Грином и Шварцем; вскоре вслед за тем была найдена и размерность 10 для суперструны. Аномалия же Грина-Шварца (1984) не выделяет какую-либо размерность (все действие уже разворачивается в размерности 10); условие ее непоявления выделяет группы SO(32) и E₈×E₈, о которых говорится чуть ниже. (Примеч. перев.)

114

Не стоит забывать, что многообразие Калаби-Яу имеет размерность шесть, что, конечно, невероятно трудно выразить на рисунке. (Примеч. перев.)

115

В малой своей части. (Примеч. перев.)

116

«Начало» одной косы к «концу» другой. (Примеч. перев.)

117

Энергия, в отличие от числа комбинаций, должна, конечно, измеряться в каких-то единицах (аналогичным образом бессмысленно утверждение, что вы ехали «со скоростью 100», пока не сказано, о каких единицах идет речь). В тексте говорится в действительности даже не об энергии, а о «космологической постоянной» λ ≈ 10⁻¹²⁰M_Pl4, для которой в качестве единицы измерения здесь выбрана четвертая степень величины M_Pl = 4,34 мкг (мкг — микрограммы, то есть миллионные доли грамма). (Примеч. перев.)

118

11-мерных суперструн не бывает (это же видно из перечисления теорий струн, приведенного в главе 14); в 11-мерном пространстве живет суперсимметричное обобщение эйнштейновской теории гравитации, которое наряду с суперструнами должно некоторым образом включаться в пока еще не созданную M-теорию (не являющуюся в буквальном смысле теорией струн). Эта 11-мерная супергравитация будет упомянута в самом конце настоящей главы. (Примеч. перев.)

119

Если речь идет об алгебрах Ли. Для групп Ли соответствующее условие выглядит по-другому. (Примеч. перев.)

120

Не удержимся и приведем магический квадрат в явном виде, но без дополнительных пояснений, за исключением того, что здесь фигурируют не группы, а алгебры Ли. (Прим. перев.)

121

Следует читать «в 3-, 4-, 6- и 10-мерных пространствах». (Примеч. перев.)

122

Трудно согласиться. Помимо формулировки своего уравнения Дирак заложил основы теории квантования систем со связями в рамках гамильтоновой механики. Его небольшая книга на эту тему с неброским названием «Лекции по квантовой механике», вышедшая в 1966 году, вводит ряд концепций и понятий. Среди них — фундаментальная конструкция, которую вскоре стали повсеместно называть скобкой Дирака. Она, без сомнения, изящна в той же мере, в какой эффективна и востребована. (Гамильтоново квантование систем со связями — фундаментальный подход к построению квантовых калибровочных теорий поля, лежащих в основе современной картины микромира.) (Примеч. перев.)