Истина и красота: Всемирная история симметрии - [127]
Вы не обязательно встречаетесь с группами у себя на кухне или во время поездки на работу, и тем не менее без них современная наука оказалась бы серьезно урезанной, а наша жизнь — устроенной в сильной степени по-другому. Не столько в отношении таких штук, как широкофюзеляжные реактивные лайнеры, или GPS-навигаторы, или даже мобильные телефоны — хотя и их это касается, — сколько в отношении нашего понимания природы. Никто не смог бы предсказать, что занудный вопрос об уравнениях прояснит глубокую структуру физического мира, однако именно так и случилось.
История посылает нам столь же простой, сколь и ясный сигнал. Исследование глубоких математических вопросов не следует отвергать или умалять только на том основании, что эти вопросы не обещают прямых практических применений. Ценность хорошей математики выше, чем у золота, и по большей части неважно, откуда она взялась. Что важно, так это куда она нас ведет.
Потрясающая вещь состоит в том, что математика высшего уровня обычно приводит к чему-то неожиданному, причем значительная ее часть оказывается актуальной для науки и технологии, пусть даже исходно изобретение совершалось для каких-то совершенно иных целей. Эллипс, который греки изучали как коническое сечение, оказался той путеводной нитью, которая привела стопами Кеплера, основывавшегося на наблюдениях Тихо Браге за движением Марса, к ньютоновской теории гравитации. Теория матриц, за бесполезность которой извинялся ее изобретатель Кэли, стала неотъемлемым инструментом в статистике, экономике и едва ли не в каждом отделе науки. Октонионы могут сыграть роль вдохновителей Теории Всего. Разумеется, теория суперструн может оказаться всего лишь симпатичным фрагментом математики, не имеющим связи с физикой. Если и так, то существующие применения симметрии в квантовой теории все равно демонстрируют, что теория групп позволяет нам глубоко проникнуть в природу вещей, несмотря на то что создавалась она для ответа на некий вопрос в рамках чистой математики.
Почему математика столь полезна для целей, ни в коей мере не предусмотренных ее изобретателями?
Греческий философ Платон говорил, что «Бог во всем геометр». Ему вторил Галилей: «Великая книга Природы написана на языке математики». Иоганн Кеплер задался целью обнаружить математические закономерности в орбитах планет. Часть из его изысканий привела Ньютона к его закону гравитации, другая же часть оказалась мистической чепухой.
Многие современные физики отмечали потрясающую мощь математического мышления. Вигнер говорил о «непостижимой эффективности математики» в деле познания природы; эта фраза фигурирует в заглавии статьи, написанной им в 1960 году. Он пишет, что в статье рассматриваются два основных вопроса:
Первое — это то обстоятельство, что колоссальная эффективность математики в естественных науках граничит до некоторой степени с мистикой и что этому нет никакого рационального объяснения. Второе — это то, что именно эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий.
И еще:
Математический язык удивительно приспособлен для формулировки физических законов — это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему им пользоваться. Мы думаем, что сфера его применимости, хорошо это или плохо, будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.
Поль Дирак полагал, что законы природы должны быть не только математическими, но еще и красивыми. Красота и истина были для него двумя сторонами одной монеты, и математическая красота в сильной степени подсказывала физическую истину. Он даже зашел столь далеко, что говорил, будто предпочтет прекрасную теорию правильной и что красота представляет большую ценность, нежели простота: «Исследователь в своих усилиях выразить фундаментальные законы природы в математическом виде должен главным образом стремиться к математической красоте. Он также должен принимать во внимание и простоту, но в подчинении у красоты… Там же, где они вступают в конфликт, следует отдавать предпочтение красоте».
Интересно, что дираковская концепция математической красоты значительно отличалась от той, которую разделяют большинство математиков. Она не включала в себя логическую строгость, и многие шаги в его работах содержали логические скачки — больше всего известен пример его «дельта-функции», обладающей внутренне противоречивыми свойствами. Тем не менее он весьма эффективно использовал эту «функцию», и в конце концов математики дали строгую формулировку его идеи, после чего она и в самом деле стала частью прекрасного.
Тем не менее, как было отмечено в книге Хельге Краф «Дирак. Биография ученого», «Все его [Дирака] великие открытия были сделаны до [середины 1930-х годов], а после 1935 года ему, в общем, не удавалось производить физические результаты, имеющие непреходящую ценность[122]. Уместно замечание, что принцип математической красоты управлял его мышлением только в течение более позднего периода».
Важно не только читать хорошие книги, но и писать таковые… Из-за нарушения этого правила волшебники Незримого университета вынуждены вновь спасать несчастную вселенную Круглого мира.XIX век, Англия. Некий человек по имени Чарльз Дарвин пишет книгу «Теология видов», которая не только становится бестселлером, но и тормозит научный прогресс более чем на век, что неизбежно вызовет новый ледниковый период в ближайшие столетия. Ну и как тут не вмешаться аркканцлеру Чудакулли и его коллегам?Третья книга научно-популярного цикла, созданного Терри Пратчеттом в соавторстве с Йеном Стюартом и Джеком Коэном, рассказывает читателю о теории эволюции и ее влиянии на развитие всего человечества.Впервые на русском языке!
Добро пожаловать в XXIII век!В эпоху, когда человечество наконец-то «освоилось» в Солнечной системе.На юпитерианскую луну Каллисто, где космоархеологи нашли погребенное под многотысячелетними слоями льдов… устройство? Или все-таки СУЩЕСТВО?То, что привезли на Землю. То, что однажды… включилось? Или все-таки – ожило?И тогда гигантская комета, летевшая к Юпитеру, вдруг изменила свою траекторию – и понеслась к Земле…Что это – нелепое стечение обстоятельств? Неизвестный космический фактор? Или – непреложное доказательство существования на Юпитере разумной жизни?И теперь космический флот Земли отправляется к Юпитеру…
Закономерности простых чисел и теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и сферическая симметрия Кеплера, загадка числа π и орбитальный хаос в небесной механике. Многие из нас лишь краем уха слышали о таинственных и непостижимых загадках современной математики. Между тем, как ни парадоксально, фундаментальная цель этой науки — раскрывать внутреннюю простоту самых сложных вопросов. Английский математик и популяризатор науки, профессор Иэн Стюарт, помогает читателю преодолеть психологический барьер. Увлекательно и доступно он рассказывает о самых трудных задачах, над которыми бились и продолжают биться величайшие умы, об истоках таких проблем, о том, почему они так важны и какое место занимают в общем контексте математики и естественных наук.
В двух мирах – Плоском и Круглом – вновь переполох! Омниане узнали о Круглом мире и хотят его контролировать. Само его существование – это издевательство над их религией. Однако волшебники Незримого университета придерживаются совсем другой точки зрения. В конце концов, они создали этот мир!В четвертой книге цикла «Наука Плоского мира» Терри Пратчетт, профессор Йен Стюарт и доктор Джек Коэн создают мозгодробительную смесь литературы, ультрасовременной науки и философии в попытке ответить на ДЕЙСТВИТЕЛЬНО большие вопросы – на этот раз о Боге, Вселенной и, честно говоря, Обо Всем.Впервые на русском языке!
Когда магический эксперимент выходит из-под контроля, волшебники Незримого Университета случайно создают новую Вселенную. Внутри они обнаруживают планету, которую называют Круглым Миром. Круглый Мир — это удивительное место, где логика берет верх над волшебством и здравым смыслом.Как Вы уже, наверное догадались, это наша Вселенная, а Круглый Мир — это Земля. Вместе с волшебниками, наблюдающими за развитием своего случайного творения, мы проследим историю Вселенной, начиная с исходной сингулярности Большого Взрыва и заканчивая эволюцией жизни на Земле и за ее пределами.Переплетая оригинальный рассказ Терри Пратчетта с главами, написанными Джеком Коэном и Йеном Стюартом, книга дает замечательную возможность посмотреть на нашу Вселенную глазами волшебников.
Как математические модели объясняют космос? Иэн Стюарт, лауреат нескольких премий за популяризацию науки, представляет захватывающее руководство по механике космоса в пределах от нашей Солнечной системы и до всей Вселенной. Он описывает архитектуру пространства и времени, темную материю и темную энергию, рассказывает, как сформировались галактики и почему взрываются звезды, как все началось и чем все это может закончиться. Он обсуждает параллельные вселенные, проблему тонкой настройки космоса, которая позволяет жить в нем, какие формы может принимать внеземная жизнь и с какой вероятностью наша земная может быть сметена ударом астероида. «Математика космоса» — это волнующий и захватывающий математический квест на деталях внутреннего мира астрономии и космологии. Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория».
Несмотря на загадочное происхождение отдельных своих элементов, математика не рождается в вакууме: ее создают люди. Некоторые из этих людей демонстрируют поразительную оригинальность и ясность ума. Именно им мы обязаны великими прорывными открытиями, именно их называем пионерами, первопроходцами, значимыми фигурами математики. Иэн Стюарт описывает открытия и раскрывает перед нами судьбы 25 величайших математиков в истории – от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Каждый из этих потрясающих людей из разных уголков мира внес решающий вклад в развитие своей области математики.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.