Истина и красота: Всемирная история симметрии - [22]
1,4142135623730950488…,
но не может на этом прекратиться, поскольку квадрат приведенного числа на самом деле равен
1,99999999999999999999522356663907438144,
что, очевидно, есть не вполне то же самое, что 2.
На этот раз известно, откуда взялось такое обозначение. Это искаженная буква «r», обозначающая «radix» — латинское слово «корень». Математики понимают его таким образом и читают выражение √2 как «корень из двух».
Кубические корни, корни четвертой, пятой и так далее степеней обозначаются помещением маленького приподнятого числа перед знаком «корень» — таким образом: >3√, >4√, >5√.
Кубический корень из данного числа — это такое число, куб которого дает исходное, и аналогично для других корней. Таким образом, кубический корень из 8 есть 2, поскольку 2>3 = 8. Кубический же корень из 2 можно выразить в виде десятичной дроби только приближенно. Он начинается таким образом:
1,2599210498948731648…
и продолжается, если вы запасетесь достаточным терпением, бесконечно.
Именно это число появляется в античной задаче об удвоении куба.
Примерно к 400 г. греческая математика утратила свое место на переднем крае этой науки.
Место действия переместилось на Восток — в Аравию, Индию и Китай. Европа погрузилась в «темные века», и хотя они были не такими уж темными, какими их нередко изображают, но все же темными в достаточной мере. Распространение христианства возымело тот плачевный побочный эффект, что знание и ученость сконцентрировались в церквях и монастырях. Многие монахи переписывали работы великих математиков, таких как Эвклид, но лишь очень немногие из них понимали, что они переписывают. Древние греки были в состоянии с двух сторон прорыть туннель через гору так, чтобы обеспечить встречу посередине; способ же, которым ранние англосаксы проводили землемерные работы, состоял в том, чтобы разложить в поле план в масштабе 1:1. Даже понятие изображения, сделанного в определенном масштабе, было утеряно. Если бы англосаксы пожелали создать точное изображение Англии, им пришлось бы сделать его размером с Англию. Их карты обычного размера были крайне неточными.
К концу пятнадцатого столетия фокус математической активности снова сдвинулся в сторону Европы. На Среднем и Дальнем Востоке подошел к концу заряд креативности, а Европа включила второе дыхание, освобождаясь от объятий Римской церкви и ее страха перед всем новым. По иронии судьбы новым центром интеллектуальной активности становится Италия — по мере того как Рим ослаблял хватку в своем собственном тылу.
Это тектоническое изменение в европейской науке и математике началось с публикации в 1202 году книги под названием Liber Abbaci, написанной Леонардо Пизанским, который много позднее получил прозвище Фибоначчи, сына Боначчио, под которым теперь и известен, несмотря на то что имя это придумали в девятнадцатом столетии. Отец Леонардо — Гильельмо — служил на таможне в Буджии (ныне в Алжире) и в своей работе неминуемо сталкивался с людьми самых разных культур. Он обучил своего сына новомодным знакам для чисел, изобретенным индусами и арабами, — предшественникам наших десятичных обозначений от 0 до 9. Леонардо позднее писал, что «мне так нравилось обучение, что я продолжал изучать математику во время поездок по работе в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс и получал особое удовольствие от дебатов с учеными из тех мест». На первый взгляд заглавие книги Леонардо говорит о том, что это книга — об абаке, т.е. механическом вычислительном приспособлении, состоящем из бусинок, скользящих по проволочкам, или же из галечных камешков, передвигаемых в песчаном желобе. Но как латинское слово calculus, относящееся к этой гальке, позднее приобрело другое, более техническое значение[15], так и слово abbaco — рамка для счета — стало обозначать искусство вычисления. Liber Abbaci была первым арифметическим текстом, в котором индоарабские символика и методы были принесены в Европу. Значительная часть книги отведена новым применениям арифметики к практическим предметам, подобным обмену валют.
Одна задача — об идеализированной модели роста популяции кроликов — привела к замечательной числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее, где каждое следующее число, начиная с 2, равно сумме двух предыдущих. Эта «последовательность Фибоначчи» более всего прославила Леонардо — не применительно к размножению кроликов, где следствия из нее нулевые, а за то, что она представляет собой замечательный пример математической закономерности и играет ключевую роль в теории иррациональных чисел. Леонардо и представить себе не мог, что этот маленький jeu d'esprit[16] затмит в глазах потомков все остальное, что он сделал в своей жизни.
Леонардо написал еще несколько книг, и его Practica Qeometriae, появившаяся в 1220 году, содержала значительную часть «Начал» Эвклида, а также кое-что из греческой тригонометрии.
В Книге X «Начал» Эвклида обсуждаются иррациональные числа, построенные как вложенные друг в друга квадратные корни, типа
. Леонардо доказал, что эти иррациональные числа не подходят для решения кубических уравнений. Отсюда не следует, что корни кубического уравнения нельзя построить при помощи циркуля и линейки, поскольку другие комбинации квадратных корней могут в принципе приводить к решению. Но это был намек на то, что, если пользоваться лишь предлагаемыми Эвклидом инструментами, кубическое уравнение может оказаться неразрешимым.Важно не только читать хорошие книги, но и писать таковые… Из-за нарушения этого правила волшебники Незримого университета вынуждены вновь спасать несчастную вселенную Круглого мира.XIX век, Англия. Некий человек по имени Чарльз Дарвин пишет книгу «Теология видов», которая не только становится бестселлером, но и тормозит научный прогресс более чем на век, что неизбежно вызовет новый ледниковый период в ближайшие столетия. Ну и как тут не вмешаться аркканцлеру Чудакулли и его коллегам?Третья книга научно-популярного цикла, созданного Терри Пратчеттом в соавторстве с Йеном Стюартом и Джеком Коэном, рассказывает читателю о теории эволюции и ее влиянии на развитие всего человечества.Впервые на русском языке!
Добро пожаловать в XXIII век!В эпоху, когда человечество наконец-то «освоилось» в Солнечной системе.На юпитерианскую луну Каллисто, где космоархеологи нашли погребенное под многотысячелетними слоями льдов… устройство? Или все-таки СУЩЕСТВО?То, что привезли на Землю. То, что однажды… включилось? Или все-таки – ожило?И тогда гигантская комета, летевшая к Юпитеру, вдруг изменила свою траекторию – и понеслась к Земле…Что это – нелепое стечение обстоятельств? Неизвестный космический фактор? Или – непреложное доказательство существования на Юпитере разумной жизни?И теперь космический флот Земли отправляется к Юпитеру…
Закономерности простых чисел и теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и сферическая симметрия Кеплера, загадка числа π и орбитальный хаос в небесной механике. Многие из нас лишь краем уха слышали о таинственных и непостижимых загадках современной математики. Между тем, как ни парадоксально, фундаментальная цель этой науки — раскрывать внутреннюю простоту самых сложных вопросов. Английский математик и популяризатор науки, профессор Иэн Стюарт, помогает читателю преодолеть психологический барьер. Увлекательно и доступно он рассказывает о самых трудных задачах, над которыми бились и продолжают биться величайшие умы, об истоках таких проблем, о том, почему они так важны и какое место занимают в общем контексте математики и естественных наук.
В двух мирах – Плоском и Круглом – вновь переполох! Омниане узнали о Круглом мире и хотят его контролировать. Само его существование – это издевательство над их религией. Однако волшебники Незримого университета придерживаются совсем другой точки зрения. В конце концов, они создали этот мир!В четвертой книге цикла «Наука Плоского мира» Терри Пратчетт, профессор Йен Стюарт и доктор Джек Коэн создают мозгодробительную смесь литературы, ультрасовременной науки и философии в попытке ответить на ДЕЙСТВИТЕЛЬНО большие вопросы – на этот раз о Боге, Вселенной и, честно говоря, Обо Всем.Впервые на русском языке!
Когда магический эксперимент выходит из-под контроля, волшебники Незримого Университета случайно создают новую Вселенную. Внутри они обнаруживают планету, которую называют Круглым Миром. Круглый Мир — это удивительное место, где логика берет верх над волшебством и здравым смыслом.Как Вы уже, наверное догадались, это наша Вселенная, а Круглый Мир — это Земля. Вместе с волшебниками, наблюдающими за развитием своего случайного творения, мы проследим историю Вселенной, начиная с исходной сингулярности Большого Взрыва и заканчивая эволюцией жизни на Земле и за ее пределами.Переплетая оригинальный рассказ Терри Пратчетта с главами, написанными Джеком Коэном и Йеном Стюартом, книга дает замечательную возможность посмотреть на нашу Вселенную глазами волшебников.
Как математические модели объясняют космос? Иэн Стюарт, лауреат нескольких премий за популяризацию науки, представляет захватывающее руководство по механике космоса в пределах от нашей Солнечной системы и до всей Вселенной. Он описывает архитектуру пространства и времени, темную материю и темную энергию, рассказывает, как сформировались галактики и почему взрываются звезды, как все началось и чем все это может закончиться. Он обсуждает параллельные вселенные, проблему тонкой настройки космоса, которая позволяет жить в нем, какие формы может принимать внеземная жизнь и с какой вероятностью наша земная может быть сметена ударом астероида. «Математика космоса» — это волнующий и захватывающий математический квест на деталях внутреннего мира астрономии и космологии. Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория».
Несмотря на загадочное происхождение отдельных своих элементов, математика не рождается в вакууме: ее создают люди. Некоторые из этих людей демонстрируют поразительную оригинальность и ясность ума. Именно им мы обязаны великими прорывными открытиями, именно их называем пионерами, первопроходцами, значимыми фигурами математики. Иэн Стюарт описывает открытия и раскрывает перед нами судьбы 25 величайших математиков в истории – от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Каждый из этих потрясающих людей из разных уголков мира внес решающий вклад в развитие своей области математики.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.