Геометрия, динамика, вселенная - [21]

x' = ct sh ψ, ct' = ct ch ψ. (25)

Учитывая, что x'/t'=v, из (25) следует, что th ψ = v/c. Используя известные соотношения для гиперболических функций, легко получить

sh ψ = (v/c) [1-(v/c)**2]**(-1/2),

(26) ch ψ = [1-(v/c)**2]**(-1/2),

после чего из формул (24) и (26) следуют преобразования Лоренца:

x+vt x' = —--------,

-------,

\/ 1-(v/c)**2

(27)

t+vx/c**2 t' = —--------.

-------,

\/ 1-(v/c)**2

Из соотношений (27) следует:

1. При v/c<<1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (12).

2. Интервалы длины и времени преобразуются соответственно:

^x ^x' = —--------,

-------,

\/ 1-(v/c)**2

(28)

^t ^t' = —--------.

-------,

\/ 1-(v/c)**2

Наметим далее вывод из метрических свойств пространства Минковского уравнения движения материальной точки

p=mu, (29)

где u — скорость частицы.

В ньютоновской механике v = dx/dt; m=const (t абсолютное время). Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c — > 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). Найдем 4-мерный аналог скорости v=dx/dt. В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. Действительно, в этой системе величина dx=const и время t=τ однозначно связано с инвариантным интервалом ds. В том же случае, когда тело «истинно» точечное (dx=0), то ds=c d τ. Поэтому естественно в формуле для скорости положить

u=dx/d τ (23)

и на основании (23)

v|||||

x,y,z u||||| = —--------, x,y,z —-----,

\/ 1-(v/c)**2

где индексы x, y, z отмечают компоненты по соответствующим осям.

Чтобы величина u была бы 4-вектором, нужно доопределить четвертую компоненту. В нашем распоряжении есть единственная величина, имеющая размерность скорости: скорость света c. Поэтому аналог временной компоненты 4-скорости:

c u| = —--------. (32) t —-----,

\/ 1-(v/c)**2

Тогда выражение (29) для импульса можно записать в форме

p| = m|u|, i 0 i

ult m| — масса в собственной системе отсчета. Индекс i

0 отмечает номер компоненты 4-скорости. Легко проверить, что величины p| (i=1,2,3,4 или t,x,y,z) образуют 4-вектор.

i Действительно,

(p|)**2 — (p|)**2 — (p|)**2 — (p|)**2 = (m|c)**2 = Inv. (34) t x y z 0

По существу (34) есть частное следствие общего определения пространства Минковского: квадрат 4-вектора инвариант относительно поворотов и трансляций в этом пространстве. Другим важнейшим примером этого правила является инвариантность интервала. Отличие от векторного определения пространства Евклида сводится к правилу знаков: квадрат временно-подобной компоненты берется со знаком «+», а квадраты пространственно-подобных компонент — со знаком «-». Если потребовать сохранения формы (29) для выражения импульса в релятивистской механике через обычную скорость, то следует изменить определение массы, положив

m m = —--------. (35)

-------,

\/ 1-(v/c)**2

Все выводы релятивистской динамики, и в частности формулы (33) — (35), превосходно согласуются с экспериментальными данными, полученными на ускорителях. Точнее, они служат основой для конструирования больших ускорителей, образуя новую область, лежащую на стыке фундаментальной физики и инженерных дисциплин: релятивистскую инженерную физику.

5. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

Специальная теория относительности, геометрический образ которой воплощен в пространстве Минковского, вызывает невольные ассоциации с величайшими творениями искусства. Сочетание величия человеческого духа и лаконичности придают этой теории те качества, которые отличают настоящие ценности.

Тем не менее специальная теория относительности отражение законов природы и поэтому, как и вся физические принципы, характеризуется определенными границами. Произведение искусства — автономно, научная теория неизбежно ограничена невидимыми (а зачастую и зримыми) проявлениями прогресса экспериментальной физики и логикой.

И у специальной теории относительности есть границы применимости. Они проявляются довольно отчетлива, однако (и в этом одна из причуд истории науки) их не принято детально обсуждать. В этом нет, вероятно, никакой злонамеренности. подобная ситуация имеет простую психологическую подоплеку. В первые десятилетия после создания теории относительности у нее существовало столько принципиальных и беспринципных противников, что борьба велась не по линии теории ценных деталей, а по вопросу: быть или не быть теории относительности. И когда экспериментальные данные блестяще подтвердили специальную теорию относительности, а ее противники оказались полными банкротами, в общественном мнении возобладала антитеза отрицания — ее полная абсолютизация.

Однако беспристрастный анализ продемонстрировал, что и у специальной теории есть свои проблемы, которые частично были блестяще использованы Эйнштейном при создании общей теории относительности, а частично вообще ускользнули из поля зрения научной общественности.