Геометрия, динамика, вселенная - [19]

d**2 r Ф = Ф (m, — --). (15)

dt**2

Величина m — внутренняя характеристика тела, вторая производная d**2 r/dt**2 определяется взаиморасположением тела отсчета и материальной точки. В рамках ньютоновской механики обе величины абсолютно независимы. Поэтому естественно предположить, что они входят в выражение (14) в виде произведения

d**2 r Ф = Ф (m —---). (16)

dt**2

Назовем силой функцию F, обратную функции Ф, тогда получаем основной закон

d**2 r F = m —---. (17)

dt**2[7]

Из свойств пространства вытекают характеристики дальнодействующих сил, составляющих основу классической механики.

Назовем дальнодействующими (макроскопическими) силами такие воздействия, которые в статическом случае (т. е. когда тело отсчета неподвижно) можно характеризовать силовыми линиями, начинающимися в теле отсчета, но не изменяющимися в пустом пространстве. Иными словами, в пустом пространстве силовые линии — прямые. Если же силовые пересекают материальную точку, то они взаимодействуют с ней, прекращая свое существование.

Заметим, что «прямолинейность» силовых линий нетривиальное допущение, которое характерно исключительно для дальнодействующих сил. Для микроскопических взаимодействий силовые линии либо запутываются, взаимодействую друг с другом, утрачивая прямолинейность (сильное взаимодействие), либо обрываются (слабое взаимодействие). На современном языке необходимыми и достаточными условиями дальнодействия сил являются неравенства

ALPHA << 1, m| = 0,

c

где ALPHA — безразмерная константа взаимодействия, m|

c массам обменной частицы (см. Дополнение). Далее в этом разделе ограничимся исключительно дальнодействующими макроскопическими силами.

Поскольку силовое воздействие является точечным и осуществляется в месте расположения материальной точки, то единственная характеристика сил, обусловленная этим расположением, есть плотность d силовых линий. Поэтому сила, действующая на материальную точку, пропорциональна плотности силовых линий: F~d. Но в силу изотропии и однородности пространства полное число силовых линий неизменно, а плотность силовых линий неизменно, а плотность силовых линий макроскопического взаимодействия обратно пропорциональна площади сферы с центром, расположенным в начале координат (теле отсчета). Эта сфера проходит через материальную точку. поскольку площадь сферы в трехмерном евклидовом пространстве пропорциональна r**2 (r — расстояние между телом отсчета и материальной точкой), то

F~1/r**2. (19)

Мы получили выражение для макроскопических сил: силы Кулона и силы Ньютона.

Таким образом, оба закона — следствие особых свойств трехмерного евклидова пространства.

Следовательно, как механика Ньютона, так и выражение для статических (классических) сил зависят от свойств пространства. Подчеркнем, что, несмотря на демонстрацию тесной связи основ динамики и свойств пространства, нельзя полностью свести физику к логическим умозаключениям, основанным не геометрии. Разумеется, лишь опыт может позволить заключить о макроскопичности данного типа сил. Можно (как это происходило в действительности) на опыте измерить зависимость (19), на более современном уровне установить соотношения (18), которые также являются следствием экспериментов.

Однако общие соотношения отражают свойства пространства, и наша цель — демонстрация тесной связи этих свойств и простейшей динамики.

4. ПРОСТРАНСТВО СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ(ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО)

Теории относительности посвящено огромное число книг, написанных на разных уровнях. Поэтому нецелесообразно представлять здесь систематическое изложение этой теории. Идея этого и следующего разделов несколько скромнее: очертить лаконично идею взаимосвязи геометрии и динамики, обусловленную созданием теории относительности, которая изменила сам стиль этой взаимосвязи. Ранее (в ньютоновской механике) эта взаимосвязь проявлялась как бы неявно: в определении инерциальной системы, мельком упоминалась при выводу законов сохранения и т. д. После утверждения теории относительности единство геометрии и динамики стало краеугольным камнем физики.

Специальная теория относительности базируется на двух постулатах.

1. Существует класс эквивалентных инерциальных систем отсчета. (Этот постулат оправдывается свойствами пространства: изотропией и однородностью.)

2. Скорость света в пустоте постоянна и не зависит от движения его источника или приемника.

К этому постулату, выдвинутому А.Эйнштейном в 1905 г., мы привыкли. А привычка часто является синонимом тривиальности. В действительности он связан с двумя нетривиальными допущениями. Во-первых, скорость света c не подчиняется обычному классическому правилу сложения скоростей: v| = v| + v| (v| — суммарная скорость, v|

3 2 1 3 1 скорость источника, v| — скорость испущенной материи, в

2 данном случае скорость света). И, во-вторых, этот постулат также связан с утверждением об евклидовости пространства. Отсутствие однородности или неизотропия пространства также привели бы к его нарушению. Физической иллюстрацией возможности подобного нарушения евклидовости является существование макроскопических тел и сильных (≥10**13 Гс) электромагнитных полей. В областях, где находятся эти объекты, скорость света отличны от c. Поэтому при формулировании второго постулата особо подчеркивается свойство среды, в которой распространяется свет (пустота). Верные традиции этой книги, мы остановимся на простейшей системе, состоящей из тела отсчета и материальной точки (пробного тела).