Геометрия, динамика, вселенная - [22]

Для того, чтобы изложить эти проблемы, мы будем опираться на мысленные эксперименты, которые так часто «проводились» в начале столетия. В частности, на них опирался Эйнштейн в процессе создания теории относительности.

Трудно скрыть известную ностальгию по этой почти ушедшей эре, когда в физике царила наглядность, а формальные аспекты были на втором плане. К сожалению, в науке не всегда возможен стиль «ретро», но все-таки будем стремиться к максимальной наглядности. Вообразим систему отсчета, в которой движутся два тела (1 и 2) с разными скоростями. Тогда в области расположения тела 1 в соответствии с формулами (28) о сокращении масштабов пространство будет искажено: его однородность будет нарушена. Следовательно, будет нарушено основное условие определения инерциальной системы отсчета. Фактически многочастичное макроскопическое тело своим объемом нарушает однородность и изотропию пространства. Тем самым подрываются основы определения инерциальной системы координат. Макроскопическое (неточечное) тело нарушает свойства пространства Минковского: его однородность и изотропию. Поэтому становится проблематичным его использование для описания макроскопического тела.

Это рассуждение — пример мысленного эксперимента. В нашем распоряжении нет твердых тел, которые можно разгонять до релятивистских скоростей, и поэтому непосредственная экспериментальная проверка выводов теории относительности применительно к макроскопическим телам затруднительна. Теоретические же рассуждения на эту тему (релятивистские преобразования температуры) лишены убедительности и однозначности, характерных для специальной теории относительности точечных тел.

Но закроем глаза на эти проблемы, уводящие в сторону от основной линии книги, и попробуем применить эту теорию к конкретному макроскопическому телу — вращающемуся диску, знаменитому диску Эйнштейна. Пусть диск, являющийся абсолютно твердым телом, вращается равномерно вокруг своего центра. Очевидно, что линейные скорости точек диска, расположенные на разных расстояниях от центра, будут различны (пропорциональны расстояниям r). Тогда в соответствии с формулами (29) в этих точках будет различное сокращение. Пространство станет неоднородным, а следовательно, неевклидовым. Вращение диска есть неинерциальное ускоренное движение. Из этих двух фактов Эйнштейн заключил, что ускоренное движение нарушает евклидовость (псевдоевклидовость) пространства.

В случае равномерного вращения диска и соответствующего постоянному во времени ускорению легко оценить, как меняется метрика пространства, заполненного диском, в зависимости от расстояния r. Вычислим, в частности, «неевклидовость» пространства на расстоянии r, если задана угловая скорость вращения Ω. Если Ω = 0, то пространство евклидово, т. е. d/r = 2 π. (d — длина окружности в системе покоя диска). Если Ω ≠ 0, то в направлении по радиусу диска масштаб останется несмещенным, следовательно, длина окружности увеличится в [1-(Ω r/c)**2]**(-1/2) раз. Во вращающейся

d' d -1/2 системе координат — = — [1-(Ω r/c)**2] > 2 π,

r r

что и является мерой неевклидовости.

Нетрудно установить и метрику, соответствующую угловой скорости Ω ≠ 0. В цилиндрических координатах при Ω = 0 интервал

ds**2 = (c dt)**2 — dr**2 — (r dFI)**2, (36)

где FI — азимутальный угол.

Если Ω ≠ 0, то r=r'? FI=FI+Ω t, и интервал имеет вид

(ds')**2 = [c**2-(Ω r')**2 (dt)**2 — 2 Ω (r'**2 dFI' dt — (r' dFI')**2 — (-r')**2. (37)

По какому бы закону ни преобразовывалось время, метрика (37) является римановой метрикой (6). Из того факта, что при ускоренном движении (вращение диска) возникает неевклидовость, которая представляется римановой метрикой, естественно допустить, что ускоренные движения изменяют метрические свойства пространства, а постоянно ускорение (Ω = const ≠ 0) приводит к обобщению пространства Минковского — пространству Римана. Именно эта идея Эйнштейна (взаимосвязь геометрии и динамики) кардинально изменила наши представления о неком абсолютном континууме пространства-времени. Даже пространство Минковского было в известном смысле абсолютно (независимость метрики от динамики). Общая теория относительности уничтожила эти остатки абсолютизации. Однако ограничиваться утверждением, что динамика влияет на свойства пространства, — это почти ничего не сказать. Это общее утверждение, а физики базируется на конкретных уравнениях. Чтобы их сформулировать, Эйнштейн придумал второй мысленный эксперимент (лифт Эйнштейна). Основная его идея базируется на факте (опыты В.Г.Брагинского и сотрудников), установленном с фантастической точностью (до двенадцатого знака): равенство гравитационной и инертной массы. из этого утверждения и законов Ньютона следует, что любое тело движется в однородном гравитационном поле с одинаковым ускорением. А мы видели, что такое движение приводит к изменению метрики пространства. Однако (и это составляет суть второй гипотезы Эйнштейна) пространство всегда остается римановым. Следовательно, интервал не зависит от системы отсчета: ds**2 = (ds')**2.

Третья кардинальная идея Эйнштейна и основывается на первых двух. Риманова метрика определяется расположением тел в пространстве. Как обычно, фундаментальное физическое уравнение следует записать на языке инвариантов. Не останавливаясь на цепи рассуждений, отметим лишь, что уравнения гравитации следовало бы сформулировать на языке кривизн и тензора энергии импульса. Уравнение Эйнштейна имеет вид