Фрегат капитана Единицы - [4]
— Эти треугольники замечательны тем, — продолжал капитан, — что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.
Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.
— Первым делом, — сказал он, — надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.
Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.
Во-первых, нам может только показаться, что треугольники совпали, потому что зрение наше несовершенно. Но если даже треугольники совпадут в точности, мы докажем лишь то, что равны только эти треугольники. А теорема должна быть справедливой не для двух, а для всех прямоугольных треугольников, у которых катеты соответственно равны.
— А для этого, друзья, — закончил капитан, — нужно уметь рассуждать. Думать надо, думать!
Ничего не поделаешь, придётся немножко и подумать.
— Начнём доказательство со слов: «Допустим, что…», — сказал капитан. — Допустим, что я мысленно (обратите внимание — мысленно!) накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго — точку А на точку а. А потом осторожно накладываю друг на друга два равных катета. Как вы думаете, совпадут концы этих катетов или нет? Совпадут точки В и в?
— Совпадут, — ответил Пи, — ведь катеты эти одинаковой длины.
— Верно. Теперь допустим, что эти катеты крепко-накрепко склеились. Наложатся друг на друга два других катета? Думайте, думайте!
— Ясно, наложатся, — ответил я. — Углы между катетами у обоих треугольников прямые — значит, одинаковые, по 90 градусов, длины катетов тоже одинаковые.
— Ты делаешь успехи, Нулик! — похвалил капитан. — Итак, логика помогла нам выяснить, что катеты обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали гипотенузы или нет.
Мы с Пи понимали, что гипотенузы должны совпасть, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа — из болота тащить бегемота! Хорошо, капитан дал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?
— Все! — сказал Пи.
— Значит, — сообразил я, — совпали и гипотенузы ВС и вс!
Капитан прищурился:
— Ой ли? А из чего это следует?
Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!
— Логично, — согласился капитан. — Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они равны между собой.
Ура! Да здравствуют аксиомы!!
ПОСТОЯННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Какие чудные имена бывают у островов! Как вам, например, нравится такое — «Остров Отношений»? Мы с коком чуть со смеху не лопнули, когда услышали, что так называется нынешняя наша стоянка. Добро бы ещё это был Остров Добрых Отношений или, на худой конец, Остров Плохих Отношений… А то просто отношений — и всё тут!
Но капитан сказал, что остров этот ни к добрым, ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это остров отношений математических.
Мы, конечно, потребовали объяснений и, как всегда, своё получили.
— Смотрите, — сказал капитан. И написал на листе блокнота вот что:
6:2 = 3
Ну, мы сразу поняли, что это пример на деление.
— Верно, — сказал капитан, — но тот же самый пример на деление можно рассматривать как пример на отношение чисел. Разделив шесть на два, мы выясним, как эти числа относятся друг к другу.
— Ага! — обрадовался я. — Значит, у чисел всё-таки есть какие-то отношения!
— Разумеется, — подтвердил капитан, — но не добрые и плохие, а числовые. И если у нас с тобой отношения могут меняться в зависимости от твоего поведения (сегодня — хорошие, завтра — плохие), то у чисел они никогда не меняются. Отношение шести к двум всегда равно трём, десяти к двум — пяти, тридцати шести к четырём — девяти…
— Значит, разные числа относятся друг к другу по-разному? — сообразил Пи.
— Не всегда, — сказал капитан. — В том-то и дело, что есть много пар разных чисел, которые относятся друг к другу совершенно одинаково. Отношение шести к двум равно трём. Но ведь трём равно и отношение двенадцати к четырём, восемнадцати к шести, ста двадцати к сорока. Таких пар можно подобрать сколько угодно. Соединим два таких отношения знаком равенства и получим пропорцию:
6:2 = 12:4
Ведь пропорция как раз и есть равенство двух отношений, а числа, образующие пропорцию, называются соответственно пропорциональными.
Капитан хотел сказать ещё что-то, но я спросил: что значит «соответственно»?
— А то, — объяснил капитан, — что делимые двух отношений пропорциональны их делителям. 6 и 12 пропорциональны 2 и 4.
Ничего не скажешь, всё понятно, но, по совести, скучновато. Во всяком случае, после рассказа капитана ничего интересного от острова Отношений мы не ждали. И напрасно.
Не успели мы сойти на берег, как тут же попали в кино и с удовольствием посмотрели весёлый приключенческий фильм «Великолепная Восьмёрка». Правда, какое отношение к числовым отношениям имеет кино, мы поначалу не уловили, но оказалось, что самое непосредственное.
