Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [158]

Фиг. 87.График распределения no скоростям (I).

_{a — число молекул (гистограмма), изображающее распределение по скоростям в газе. Каждый крестик на графике показывает молекулу, скорость которой лежит в маленькой окрестности скорости v}

_{Примечание. Каждому крестику левой части соответствует медленная молекула, а правой — быстрая (в данный момент). Максимум дает наиболее «популярную» скорость. Средняя скорость расположена недалеко от нее.}

_{б — такая же колоколообразная кривая, показывающая шансы промаха стрелка, когда он целится прямо в «яблочко» мишени. (Один и тот же «закон случая» применим как к случайным вздрагиваниям руки стрелка, так и к молекулярным скоростям при хаотических упругих соударениях в газе). Кривая б нарисована для обычной плоской мишени с кругами равной ширины, кривая а давала бы вероятность попадания в трехмерную мишень со сферическими зонами.}

При наличии смеси двух газов приходится следить за двумя сортами молекул, которые при каждом соударении обмениваются импульсами и энергией. Наш «демон», потрудившись изрядно и записав все тщательно, должен был бы дать нам сведения о скорости, импульсе и кинетической энергии каждого сорта молекул. К сожалению, такого «демона» у нас нет, а сами мы рядом с молекулами Слишком неуклюжи и огромны и не способны наблюдать их по отдельности. Однако при некоторых предположениях мы можем проделать эту работу в уме.

Предположим, что:

1) молекулы движутся хаотически, они столь многочисленны и сталкиваются так часто, что оправдано статистическое рассмотрение;

2) при каждом соударении импульс сохраняется, т. е. молекулы подчиняются тем же законам столкновения, что и упругие шары;

3) при каждом соударении кинетическая энергия сохраняется; происходит упругое соударение[210], в противном случае молекулы через долю секунды падали бы на дно сосуда.

Пометим теперь любые две сближающиеся, сталкивающиеся и разлетающиеся молекулы номерами 1 и 2 и запишем простые алгебраические уравнения:

(Полный импульс до соударения) = (Полный импульс после соударения)

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v'₁ + m₂v'₂

(Полная кинетическая энергия до соударения) = (Полная кинетическая энергия после соударения)

¹/₂ m₁v₁² + ¹/₂m₂v₂² = ¹/₂ m₁v'₁² + ¹/₂ m2v'₂²

Одно соударение — лишь небольшой штриха общей картине. Эти уравнения нужно написать для миллиардов соударений и просуммировать по громадному множеству молекул. Результат оказывается простым: при смешении газов А и В молекулы обоих типов будут обладать одной и той же средней кинетической энергией

¹/₂ m_Av^¯_A² = ¹/₂ m_Bv^¯_B²

Чтобы получить этот результат, нам нужна не таинственная физика, а высшая математика для усреднений, и придется еще позвать на помощь статистика. Он занимается той же работой, но в других областях. Например, для страховых компаний он усредняет продолжительность жизни многих людей в разных ситуациях. Продолжительность отдельной жизни может сильно отличаться от средней, но само среднее — удивительно надежная величина. Благодаря ей страховые компании оправдывают свои миллионные вложения. В газе же имеют дело с гораздо большим числом «клиентов» и событий, нежели любая страховая компания.

В наперстке воздуха более 50 000 000 000 000 000 000 молекул, каждая из которых сталкивается миллиарды раз в секунду. Поэтому, хотя и следует ожидать индивидуальных флуктуации, как в броуновском движении, усреднение дает надежные статистические предсказания[211].

Чтобы уяснить себе статистическую задачу, рассмотрим воображаемую социологическую ситуацию. Посадим на необитаемый остров миллион гигантов и миллион пигмеев, снабдив их деньгами, топливом, пищей и т. п. А теперь спросим статистиков: «Каково будет распределение среди гигантов и пигмеев через несколько лет?» Статистик потребует от нас уточнения: «Распределение чего? Денег? Одежды? Роста?» Свой ответ статистик может представить нам в виде графиков а и б на фиг. 88.

Фиг. 88. Графики распределений (II, III, IV, V).

_{Молекулы на Графике V сгруппированы в соответствии с величиной Мv независимо от направления скорости.}

Даже если мы потребуем, чтобы были сохранены первоначальные деньги и одежда (старые платья просто перешиваются), то должны ожидать одного и того же среднего для денег и разного среднего для одежды.

Вернемся к молекулам. Статистик скажет нам, что для любой смеси молекул распределение по кинетическим энергиям будет одним и тем же, с одинаковым средним значением у молекул различных типов[212]. Распределение по импульсам будет различным. (Среднее значение импульса, разумеется, в отсутствие ветра равно нулю. Здесь же мы говорим о величине Mv безотносительно к ее направлению.)

Равномерное распределение энергии

Этот статистический результат называется равномерным распределением энергии. В любой смеси газов энергия распределяется между молекулами так, что средние кинетические энергии молекул разного типа оказываются одинаковыми. То же справедливо и когда газы не смешиваются, а содержатся в раздельных контейнерах, но при одной и той же температуре, ибо тогда их можно смешать без каких бы то ни было изменений. Следовательно, если два газа