Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [160]
Найдите массу «молекулы воздуха». (Точность вашего результата будет не выше 10–30 %, но для такой фундаментальной величины важна даже грубая оценка. Здесь дело в принципе, а не в точности.)
Задача 6. Закон Авогадро
Свыше века назад итальянский ученый Авогадро, предложив блестящую гипотезу, вывел химию из серьезного тупика. Авогадро предположил, что равные объемы разных газов содержат одной то же число молекул (при одной и той же температуре и давлении). Это позволило простым способом — взвешиванием равных объемов двух газов — сравнивать массы, молекул. Полученные результаты согласовались с данными других источников, и химики порывались рассматривать «гипотезу» Авогадро как «закон». Сейчас, применив равномерное распределение энергии, вы сможете доказать его. Допустим, что газы А и В при одинаковом давлении Р занимают равные объемы V (фиг. 90). Газ А состоит из N>A молекул с массой m>A, а газ В — из N>B молекул с массой m>B.
Напишите для каждого из газов предсказание кинетической теории PV = >1/>3…, использовав равномерное распределение энергии, докажите равенство N>A = N>B, которое и составляет содержание закона Авогадро.
Фиг. 90.К задаче 6.
Задача 7. Химическая логика
Вот как закон Авогадро используется в химии. Если смешать равные объемы водорода (Н) и хлора (Сl), то вспышка света вызовет химическую реакцию (взрыв), в которой они, соединяясь, образуют новый газ — хлористый водород HCl (в водном растворе — соляная кислота). (Если первоначальные объемы не равны, то избыток одного из газов остается неиспользованным.)
Поэтому 1 л водорода и 1 л хлора дают 2 л смеси, а после взрыва — 2 л соединения хлористого водорода (когда газ остынет до первоначальной температуры).
а) Если 1 л водорода содержит N молекул, то сколько молекул содержит 1 л хлора?
б) Сколько образуется молекул соединения?
в) Разделив общее число исходных молекул на число молекул соединения, определите, сколько исходных молекул расходуется на образование одной молекулы хлористого водорода?
г) Что можно заключить о числе атомов водорода в молекуле газа водорода?
д) Дайте обоснование вашего ответа.
Задача 8. Предсказание удельной теплоемкости гелия
Не будем измерять удельную теплоемкость гелия, а, подобно фокуснику, «вытащим» ее из нашей «теоретической шляпы». Пусть тепловая энергия гелия равна кинетической энергии его молекул, так что:
1) Из PV = >1/>3… следует, что полная кинетическая энергия всех N молекул N∙(>1/>2 mv>2) должна быть равна ___
2) Предположим, что вся эта кинетическая энергия есть теплота, поглощенная газом при нагревании его от абсолютного нуля до той температуры Т, при которой он находится. Измерения газовым термометром показывают, что если газ находится при температуре тающего льда, это соответствует температуре 273 °C выше нуля. Полная масса газа равна N∙m, а повышение температуры равно 273 °C. Необходимая для нагревания теплота равна
МАССА ∙ Δ (ТЕМПЕРАТУРЫ) ∙ УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Комбинируя это с полученным выше результатом, найдите выражение для удельной теплоемкости через давление Р, объем V, массу Nm или М и т. д.
3) Примените это к гелию, используя следующие данные: 4 кг гелия при температуре таяния льда и давлении 1 атм (примерно 100 000 ньютон/м>2) занимают 22,4 м>3. Вычислите удельную теплоемкость гелия. Не забудьте, что вычисленная вами в п. 1 кинетическая энергия выражена в (ньютон)∙(метр), или джоулях, а теплота, вычисленная в п. 2, выражена в Калориях.
Прежде чем ответить на вопрос, выразите обе величины в одинаковых единицах (1 Кал = 4200 дж). (Примечание. Вместо температуры тающего льда можете взять комнатную температуру 293 °C выше абсолютного нуля и объем 24 м>3)
Удельная теплоемкость газов
Сравните ваше решение задачи 8 с экспериментальным значением удельной теплоемкости гелия, равным 0,74[215]. Предсказания и эксперимент согласуются очень хорошо. Измеряемое значение одно и то же при всех температурах, как это следует из вычислений. Следовательно, наша теория хорошо оправдывается.
Найдем теперь аналогичные данные для водорода. Если вместо 4 кг гелия мы возьмем 2 кг водорода в этом же объеме, то получим, что удельная теплоемкость должна быть около 1,5. Экспериментальное значение совершенно другое — около 2,5. Таким образом, наша теория продержалась недолго. Это расхождение оказывается полезным для новой теории. Получаемое из статистической механики равномерное распределение энергии в общем случае касается не только кинетической энергии движения. Оно утверждает только, что «средняя кинетическая энергия у всех молекул одинакова». Оно поровну наделяет энергией все независимые типы движений молекулы. Для атомов гелия, которые мы представляли в виде крошечных круглых шариков, хаотическое движение можно разбить на три независимые компоненты: движение вверх — вниз, вперед — назад и влево — вправо в направлениях х, у и z. Это — поступательное движение молекул, поэтому энергию его мы называем поступательной кинетической энергией. Равномерное распределение энергии говорит нам, что энергия в среднем складывается из трех равных долей поступательного движения. Сумма этих трех
