Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила [заметки]
1
Если вы не проделывали этого опыта, вам теперь известен, по крайней мере отчасти, результат. При чтении книги, подобной этой, можно, забежав вперед, найти ответы на вопросы, которые вам предлагают решить. Но, разгадывая кроссворд, глупо заглядывать в ответы, или, читая детективную повесть, не очень интересно сразу узнать, чем она кончается. Здесь же, забегая вперед, вы теряете еще больше — не только интерес к решению задачи, но и чувство реальности науки — и наносите вред собственному образованию. Однако еще не все потеряно. Если вы не проделывали опытов, приступите к ним немедля. Выпустите из рук одновременно полтинник и гривенник и посмотрите, как они падают. Это позволит наблюдать простоту устройства природы.
2
Обратите внимание на то, как вы сами отнесетесь к следующему утверждению: «Два мальчика, большой и маленький, одновременно начинают спускаться с вершины холма на одинаковых велосипедах свободным ходом. Если спуск короткий, они достигают подножия холма одновременно». Утверждение основано на неизменном поведении природы. При длинном спуске мальчики приобретают бóльшие скорости, различие в скорости создает также сопротивление воздуха.
3
Все мы во многих вопросах полагаемся на вбитые в нашу голову при домашнем воспитании авторитеты или на здравый смысл; мы боимся поколебать в себе чувство уверенности. Если вы отвергаете это обвинение, то потерпите немного, скоро сами себя на этом поймаете.
4
A History of Science, Cambridge, 1949.
5
Грубо говоря, логика Аристотеля имеет дело с классами вещей, и доказательства в ее рамках можно провести при помощи электронно-вычислительных машин («электронного мозга»), в которых «да» или «нет» представляются наличием или отсутствием тока электронов. Современная логика имеет дело с отношениями (такими, как «…больше, чем…», «…лучше, чем…») и классами (такими, как «собаки», «млекопитающие»), а в наши дни — с импликативными отношениями между законченными высказываниями. Доказательства в этой логике также, вероятно, можно провести при помощи машин, хотя сделать это будет уже, видимо, труднее. Но машина неспособна критически анализировать систему логики, которую ей предлагают использовать. Только человек считает, что в состоянии это сделать.
6
Более плотное (или большее) тело должно пролететь в свободном падении большее расстояние, прежде чем достигнет своей предельной скорости, поэтому его предельная скорость оказывается значительно большей.
7
Очевидное требование «при прочих равных условиях» часто трудно соблюсти, и мы усматриваем в многочисленных исключениях из правила неизменности природы несостоятельность этого принципа. Опыты по магнетизму в городе, где есть трамвай, в воскресенье (когда движение менее интенсивное) могут дать совсем другие результаты.
8
См. задачу в гл. 5.
9
Последователи Аристотеля считали невозможным существование вакуума и сами себе отрезали путь к объяснению, которое следует из упрощающего предположения Галилея.
10
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (есть перевод: Галилео Галилей, Диалог о двух главнейших системах мира. Москва, 1900).
11
Прелестное небольшое строение — Пизанская падающая башня — достопримечательность Пизы, приветливого итальянского города. Это круглая башня из белого мрамора, построенная рядом с собором. Как только ее построили, она сразу же начала наклоняться, а сейчас этот заметный наклон образует с вертикалью угол, близкий к 5°. Посетители, которые взбираются по ее винтовой лестнице или прогуливаются по одному из открытых балконов, испытывают странное ощущение смещения земного тяготения. Башня была построена задолго до Галилея, и он, должно быть, пытался использовать ее для своих экспериментов. При жизни Галилея один из сторонников Аристотеля использовал башню для демонстрации различия падения тел.
12
На этой ступени объяснение заканчивается ничем не подкрепленными догматическими утверждениями, идущими «прямо от Аристотеля». Для подлинно научного объяснения необходимо изучить, что такое масса, сила и движение.
13
Родители часто отвечают на вопросы, задаваемые детьми: «Просто это так» или «Потому, что это так». Эти ответы не так уж глупы, как кажутся на первый взгляд. Детям на определенном этапе именно такой ответ и нужен, им нужно подтверждение того, что все находится на своем месте, что факт, о котором ребенок спрашивает, составляет часть некоего неразрывного целого, каким является мир. Когда ребенок спрашивает: «Почему трава зеленая?», он не нуждается в лекции о хлорофилле. Просто он хочет получить новое заверение в том, что трава и должна быть зеленой.
14
Плавучесть влияет на падение тел. Когда тело падает в воду, его эффективный вес уменьшается за счет плавучести, благодаря чему разные тела падают в воде по-разному. Даже плавучесть в воздухе играет роль, правда несущественную для пушечных ядер, но решающую для воздушных шаров.
15
Сравните широкое использование специальных слов в психологии или биологии, как-то: «репрессия», «комплекс», «гелиотропизм» и т. д. Подобные новые термины в научной практике не могут объяснить факты, но помогают четко формулировать мысли.
16
Доказательство Галилея было остроумным, но не вполне строгим. Суть его такова; сравним два перемещения, каждое из которых начинается из состояния покоя, — перемещение тела А на некоторое расстояние и перемещение тела В на вдвое большее расстояние. Если скорость возрастает пропорционально пройденному расстоянию, то скорости на соответствующих этапах перемещения В (половина пути, три четверти и т. д.) будут вдвое больше, чем при перемещении тела А. Значит, удвоенный путь телом В проходится с удвоенными скоростями и отнимает в целом столько же времени, сколько перемещение тела А, что абсурдно. Но это доказательство предполагает, что движение могло начаться из состояния покоя. Строгий вариант доказательства требует применения математического анализа, чтобы показать, что описанное движение никогда не может начаться из состояния покоя. Начавшись, такое движение продолжалось бы все более стремительно, и его скорость возрастала бы по закону сложных процентов.
17
Science for the Citizen, London, 1938.
18
В математическом анализе скорость v в данный момент определяется как первая производная пути по времени v = ds/dt, а ускорение а в данный момент — как первая производная скорости по времени, т, е. равно dv/dt, или d>2s/dt>2 (вторая производная пути по времени).
19
Из математического анализа следует, что если s = kt>2, то скорость ds/dt = 2kt, а ускорение dv/dt = d/dt(ds/dt) = 2k, т. е. постоянно.
20
Этот прибор был грубым. Галилей пользовался им скорее для подтверждения своего предположения, нежели для измерения ускорения.
21
Галилей убедился в том, что скорость, приобретаемая телом при скольжении по наклонной плоскости без трения, зависит только от высоты h, а не от длины наклонной плоскости L (фиг. 5). А если это так, то тело, свободно падающее по вертикали с высоты h, должно приобрести такую же скорость, ибо падение равносильно движению по вертикальной наклонной плоскости. Поэтому Галилей мог с уверенностью перейти от своих экспериментов к выводу о свободном падении.
Фиг. 5. Движение из состояния покоя.
22
Смысл этой остроумной пословицы в ее обычном понимании не имеет отношения к данному случаю: «Если есть исключение, то должно быть и правило».
23
Опытный экспериментатор объединил бы обе таблицы, т. е. просто в табл. 1 оставил бы лишнюю колонку для «среднего времени». Если бы этот экспериментатор предвидел, что ему потребуется еще табл. 3, он оставил бы еще одну колонку для величины (время)>2. Даже если бы он не ждал, что ему потребуется что-то еще, он все же оставил бы пустые колонки и несколько свободных строк под строкой с цифрой 5,40 на тот случай, что впоследствии нужно будет записать что-то еще.
24
Можно произвести косвенную проверку, проводя на графике касательные. См. следующий раздел.
25
Имеем ли мы в виду «предполагать» или «надеяться»? Если «предполагать», то на каком основании, а если «надеяться», то научный ли это подход?
26
Например, если ускорение не постоянно, а быстро уменьшается до нуля от некоторого большого значения, то движущееся тело набирает скорость главным образом в самом начале своего перемещения. В этом случае средняя скорость больше (v>0 + v)/2.
27
Если вы склонны посмеяться над этим древним представлением, то спросите своих друзей, как предложил Лойд Тайлор, какую траекторию вычерчивает современная винтовочная пуля непосредственно после вылета из ствола. Летит она по прямой или сразу же начинает падать?
28
В большинстве книг по физике оба термина импульс и количество движения используются на равных правах. — Прим. ред.
29
Для таких направленных расстояний принят технический термин «смещение».
30
В обиходном языке, говоря о скорости, имеют в виду, насколько быстро движется предмет по какой-либо траектории — прямолинейной или искривленной. В физике скорость — это перемещение за единицу времени в определенном направлении, представляющее собой вектор. Чтобы задать скорость, указывают число, единицу измерения и направление, например 15 км/час в северном направлении.
31
Слово «вектор» происходит от латинского глагола, означающего «везти», «нести» или «транспортировать».
32
Перемещение — это вектор. Скорость — это ведь перемещение в час, поэтому и скорость — вектор. Следовательно, изменение скорости (приращение или убыль скорости) — тоже вектор. Ускорение есть изменение скорости в час, поэтому и ускорение — вектор.
33
Разве что мы готовы определить силы как величины, складываемые геометрически, а затем принять следствия этого определения при дальнейшем построении механики!
34
Прежде парабола определялась как одна из кривых, получающихся при сечении конуса плоскостью. Сейчас параболу часто определяют как кривую, описываемую уравнением
y = (постоянная)∙х>2, или у ~ x>2.
В одном из разделов аналитической геометрии показывается, что алгебраическое и геометрическое определения эквивалентны.
35
В действительности она движется с постоянной (?) скоростью вместе с Землей.
36
Приведенные на фиг. 67 примеры не рассматриваются в тексте; они даны для иллюстрации характера инженерных задач, о которых говорится.
37
Точки А, В, С не показаны на фиг. 71, б. Проставьте их.
38
Если вам еще неизвестны свойства подобных треугольников, обратитесь к какому-нибудь учебнику геометрии или попросите, чтобы вам их объяснили: необходимо уметь уверенно ими пользоваться.
39
Откуда нам известно, что целесообразно выбрать этот кусок провода для построения диаграммы сил, а не половину провода XY или не весь провод XYZ? Удачно выбрать для рассмотрения ту или иную часть конструкции — это один из приемов решения задач статики; этими приемами можно быстро научиться пользоваться, но для серьезной науки они не представляют большой ценности.
40
Гл. 32 («Электрические цепи») входит в т. 3 настоящего издания.
41
Правда, студенты, блестяще успевавшие по латыни, оказывались очень способными к другим предметам. Однако из этого еще не следует, что изучение классиков воспитало их воображение и отшлифовало ум, — просто эти студенты всегда были исключительно способными. Их учителям, заявлявшим о больших преимуществах своего курса, следовало быть более осторожными в проведении границы между propter hoc и post hoc, т. е. между способностями, приобретенными по причине этого (изучения классиков), и способностями, обнаруженными после этого.
42
Специалисты до сих пор расходятся в количественной оценке переноса навыков, так как трудно сделать беспристрастные сравнения и еще труднее дать полное и строгое истолкование результатов; все же приведенный здесь очерк суммирует общепринятое мнение.
43
Юрист, который рассуждает по типу исчерпывающих доказательств Евклида, — всегда ужасающий собеседник. Подобно Евклиду, он начинает с изложения аксиом и предположений и делает из них такие выводы: «…самоочевидно. Все мы знаем, что…». Таким образом, он знает, что его вопрос решён, в то время как он едва сдвинулся с места. Он занимается только логическими построениями (если… то…., так как мы согласны, что…, и так как…, таким образом…), пока его оппонент не оказывается безнадежно загнанным в угол.
44
Экспериментирование — это длинное латинское слово, обозначающее испытание вещей. По мере работы в лаборатории вы, вероятно, станете употреблять это слово только для систематических опытов и планомерных исследований в отличие от случайной «игры» с приборами, которая дает лишь развлечение и обещает мало новых знаний. Это различие нельзя сделать строгим и определенным без ущерба для понимания науки, и все же по мере прохождения курса вы найдете, что слово «экспериментирование» имеет четкий смысл.
Длинное слово «экспериментирование» имеет столь же длинную историю. Раньше верили, что длинные слова звучат более научно и стремились чаще употреблять их, но сейчас большинству ученых очевидно, что это не более чем наивное ребячество.
45
Например, оси амперметров выполнены из драгоценных камней и так тонки, что небольшой вес, который они несут, создает в точке опоры давление около тонны на квадратный сантиметр. При резком опускании прибора на стол давление возрастает во много раз; при таком обращении ось может затупиться и прибор совершенно выйдет из строя.
46
Это означает: «Наилучшее значение, согласно моим измерениям, равно 17,4. Я не думаю, что точная величина равна 17,4+0,2 или 17,4–0,2, но на основания своей работы считаю, что истинное значение может быть где-то в этих пределах».
47
Диаметр стержня легче измерить, чем его радиус. Запишите величину диаметра, а затем вычислите радиус, располагая вычисления строчкой ниже и немного отступив от начала, чтобы показать, что это производная величина.
48
Мы предполагаем, что факторы А, М, L и т. д. влияют на Т независимо, так что изменение М в нашем случае не влияет на взаимоотношение Т и А. Это предположение справедливо в большинстве областей физики. В некоторых других отраслях науки, таких, как биология, психология, экономика, делать такое допущение очень опасно.
49
Будет ли каждый килограмм положенного на стальную пружину груза сжимать ее настолько же, насколько каждый килограмм подвешенного к ней груза растягивает ее? Только на опыте можно получить заслуживающий доверия ответ, хотя некоторые предположения можно сделать, если посмотреть на полученный ранее график растяжения и подумать о свойствах пружины.
50
Ртуть — это металл, который можно выплавить из некоторых руд. При обычных температурах ртуть бывает жидкой, а на Северном полюсе ртуть твердая, как свинец.
51
Если не действуют эффекты поверхностного натяжения, которые становятся заметными в очень тонких трубках.
52
При проектировании здании, механизмов, приборов и т. д. объем какой-либо части можно вычислить по чертежам, но часто надо знать ее массу (или ее вес), чтобы определить, сколько надо заказать килограммов или тонн. Массу можно найти, умножив объем на отношение (масса)/(объем), которое называют плотностью. Это все равно, что найти стоимость нескольких грузовиков путем умножения числа грузовиков на отношение стоимости грузовиков к их числу, которое в этом случае называют ценой грузовика. Таким образом, плотность — это своего рода «цена» материала, выраженная в массе, приходящейся на единицу объема.
53
Если жидкость движется, то нужно учитывать дополнительные факторы, например трение и «эффекты Бернулли» (см. гл. 9).
54
Гл. 25 («Великая теория — кинетическая теория газов») входит в т. 2 настоящего издания.
55
Гл. 27 («Измерение количества тепла и температуры») входит в т. 2 настоящего издания.
56
Это высказывание принадлежит Луи Пастеру, в блестящих исследованиях по биологии которого немалую роль сыграла его подготовка в физике и химии, а также умение логически мыслить.
57
Некоторые виды лучей могут проходить сквозь другие вещества, например инфракрасные лучи через эбонит, рентгеновские лучи — через картон или ткани тела, радиоволны — через кирпичные стены.
58
На самом деле это следствие логически не безупречно! Какой вывод вы действительно можете сделать из этого наблюдения? Вот хорошая научная головоломка. Когда вы догадаетесь о правильном ответе, вы почувствуете, что вы правы, и сможете предложить эксперимент, чтобы решить ее. Кстати, описанное наблюдение не совсем верно. Когда термометр погружается в горячую воду, ртуть в нем сначала падает, а уже потом поднимается. С помощью некоторых соображений такое наблюдение позволяет сделать окончательный вывод.
59
Это соотношение с помощью остроумных рассуждений можно вывести из некоторых общих свойств теплопередачи. Если вам интересно, попросите преподавателя провести с вами этот мысленный эксперимент.
60
Чтобы листок держался, сожмите руку в кулак так, чтобы тыльная сторона кисти распрямилась, и хорошо смочите ее слюной, которая и приклеит листок металла. Попросите кого-нибудь положить на влажную кожу листок фольги, слегка разожмите кулак, чтобы фольга не натягивалась и не лопнула; подготовленная таким образом рука готова для опыта. Очень тонкие алюминиевые листки, подобные листочкам сусального золота, значительно лучше, чем тонкая упаковочная фольга, которую надо прижимать к коже. Чтобы зачернить фольгу, а также медный лист для опыта 6(ж), покрасьте их густой смесью сажи и спирта. Удалить черную краску (и фольгу) можно, подержав руку под проточной водой. Краску не следует стирать, сажа будет втираться в кожу.
61
Особых «тепловых» лучей в инфракрасной или какой-либо другой области не существует. Просто горячая дуга испускает в инфракрасной области больший поток энергии, чем в видимом спектре; именно поэтому нагрев происходит быстрее при поглощении инфракрасного излучения. Инфракрасное излучение мощностью 420 вт передает поглощающему телу >1/>10 Кал/сек; 420 вт зеленого света передают >1/>10 Кал/сек и столько же передают 420 вт ультрафиолетового света. Легко сделать дугу, которая излучает 420 вт инфракрасного излучения, но такая дуга будет излучать зеленого света значительно меньше 420 вт и еще меньше в ультрафиолетовой области.
В детской загадке спрашивается: «Почему белые овцы дают больше шерсти, чем черные?» Ответ: «Потому, что их больше». На вопрос: «Почему инфракрасное излучение (от большинства источников) дает больше тепла, чем видимый свет?» — нужно дать такой же ответ. Следует избегать названия «тепловое излучение». Всякое излучение, поглощаясь, превращается в теплоту.
62
Эту главу целесообразно отложить, пока вы не закончите лабораторные занятия с пружинами.
63
Перевод Н. Демуровой, Издательство литературы на иностранных языках, София, 1967.
64
Латинское слово «tensio» означает удлинение (растяжение), а не напряжение.
65
Существует тенденция использовать термин «закон» для крупных экспериментальных открытий, «принцип» — для обобщенных мнений, которые вводятся в теорию, а «правило» — для более «земных», рабочих утверждений. Быть может, знамения времени, отражающие перемены в философии науки, и состоят в том, что в XVII и XVIII столетиях популярностью пользовались законы, в XIX веке — великие принципы, а ныне — получаемые с большим трудом непритязательные правила.
66
Приведем пример. Связывая закон Гука со вторым законом движения Ньютона, можно сделать удивительные и полезные предсказания относительно «подпрыгивания» груза, подвешенного к пружине, вибраций камертона, движения маятника в часах и даже некоторых колебаний атомов в молекулах. Эти и многие другие движения оказываются связанными между собой общей характеристикой, с которой вы познакомитесь позднее. Если не обращать внимания на связь между законами, то можно не заметить общих свойств, и некоторые виды движения никогда не будут использованы или поняты до конца.
67
Другой способ. В высокий стеклянный стакан с горячей водой наливают немного анилина, дно стакана все время подогревают. Горячий анилин легче горячей воды, поэтому сначала он находится наверху в виде большой капли, висящей в воде. Охлаждаясь, анилин опускается на дно, где снова нагревается и поднимается, чтобы потом вновь опуститься на дно в виде большой капли.
68
Вообще говоря, порой наименования бывают глупые, но некоторые удачны. Скажем, глупо искать особое название для длины стола, на которой находятся лужицы, мало толку было бы и от особого названия для ширины капли. Но оказывается, что угол А заслуживает своего наименования. Величина этого угла является свойством веществ; если вы посмотрите на семейство лужиц, подобных представленным на фиг. 110, в, то увидите, что у всех капель один и тот же угол А.
69
При столкновении друг с другом или со стенками сосуда. Что же еще, как не отталкивание от стенок, заставляет газ давить на стенки?
70
Можно провести следующую аналогию: молекулы газа соответствуют быстро двигающимся по полю футболистам, которые время от времени сталкиваются между собой; молекулы жидкости подобны людям в толпе вокруг поля: они проталкиваются к центру, чтобы увидеть игру, но остаются в пределах определенных «семейных» групп; молекулы твердых тел подобны таким же болельщикам, рассаженным на трибунах: они азартно вертятся на своих местах.
71
Из каких опытов можно получить представление о таких малых величинах? Для жидкостей это делают путем сочетания измерений поверхностного натяжения и простых измерений теплоты испарения. Качественно убедиться в том, что пределы действия молекулярных сил очень малы, можно с помощью простых опытов. Попытайтесь соединить куски металла, прижимая один к другому. Попытайтесь проделать то же самое с только что разбитым стеклом. Достаточно очень небольшого нагревания, чтобы устранив трещину, начавшую образовываться в стекле.
72
Аналогия, которая часто бывает полезной при обучении, никогда не может доказать чего-либо. Некоторые теории, по сути дела, лишь аналогии (например, старые механические модели строения атома). Можно приветствовать их помощь нашему мышлению и отдавать им должное за плодотворные идеи, но в то же время не следует впадать в ошибку, считая, что они должны раскрыть «настоящую истину», и не следует цепляться за них, когда их полезность исчерпана.
73
Опыт с мыльной пленкой подтверждает независимость поверхностного натяжения от массы жидкости.
74
Кубических капель в природе нет, но их рассмотрение приводит к тем же результатам, что и рассмотрение шаров или любой другой пары одинаковой формы. Если вам известны формулы для шара (поверхность 4πr>2 а объем >4/>3 πr>3), то проведите рассуждение с ними. Результат от формы не зависит, так как поверхность всегда измеряют в единицах площади, скажем квадратных метрах, а объем — в кубических единицах (кубических метрах).
75
Эта идея может позволить вывести формулу для измерения поверхностного натяжения Т, действующего на каждый сантиметр границы поверхности жидкости: (тянущая сила со стороны оболочки) = (вес жидкости, удерживаемой в трубке);
Т∙(Длина границы 2πr) = [Объем (πr>2)∙(Высота подъема)]∙(Плотность жидкости)∙(Ускорение силы тяжести g)
(эту формулу раньше очень любили составителя экзаменационных вопросов).
Таким образом, Т = >1/>2g∙(Плотность)∙(Высота подъема)∙(Радиус трубки).
Эта формула более или менее верна, и ее используют для грубых определений Т, но сам вывод граничит с надувательством. На самом деле нет никакой резиновой оболочки, прикрепленной к стеклу, и в реальной формуле Т относится к поверхности раздела жидкость/воздух, а не является силой сцепления со стеклом. Но искривленная поверхность (мениск) реально существует, и, как в любом воздушном шаре, давление «внутри» (над мениском) больше, чем снаружи. С помощью этой разности давлений можно объяснить подъем жидкости в капилляре и дать строгий вывод формулы.
76
«Это высокий парень с жирной головой, который любит шлепать ногами по воде».
77
Химики обозначают атом водорода буквой Н, углерода буквой С и т. д. и соединяют их связями, чтобы показать, как построены молекулы. Подобные «картинки» основаны на химических экспериментах и рассуждениях; они полезны и заслуживают доверия.
78
В каждом случае атом натрия отделяется в воде в виде иона Na>+. В результате остальная часть молекулы мыла приобретает отрицательный заряд и превращается в длинный отрицательный ион.
79
Эта оболочка, состоящая из скопления молекул мыла, ограждает воду и мешает испарению. Пузыри, сохраняемые в очень влажном воздухе, чтобы исключить испарение, существуют еще дольше, рекордный срок их жизни — несколько месяцев.
80
Чтобы игла или лезвие бритвы не утонули в воде, надо сначала сделать их несмачиваемыми, смазав небольшим количеством воска или жира. Большой краевой угол позволяет силам поверхностного натяжения развивать значительную выталкивающую силу.
81
Этот раздел написан на основе интересного обсуждения, приведенного в книге: W. H. White, A Complete Physics, Written for London Medical Students, London, 1935.
82
Грубой аналогией такого представления является стадо свиней у длинной кормушки. Подобно тому как один конец молекулы растительного масла «любит» воду, голова свиньи ткнется к пище, свиньи карабкаются и толкаются, пока все не достигнут кормушки. Если стадо слишком велико, неудовлетворенные будут ожидать в стороне (подобно толстым каплям избыточного масла на воде). Если число свиней будет подобрано точно по длине кормушки, они образуют слой в одно животное, причем все расположатся перпендикулярно кормушке. Если свиней слишком мало, то они расположатся произвольно и у кормушки останутся свободные места.
83
Для ориентировочной оценки массы одной молекулы могут делаться даже еще более грубые предположения.
84
Цвета мыльных пузырей тоже можно использовать для определения их толщины.
85
Возможно, они действительно искривляются. Как вы можете установить, что луч света искривлен? Как проверить прямизну линейки?
86
Вопрос о том, что значит сделать силы «равными» и сложить их, рассмотрев дальше в этой главе.
87
Алгебраическая сторона такого объединения пояснена в подстрочном примечании на стр. 253. Здесь можно сравнить это соотношение с выражением для подсчета стоимости рабочей силы при выполнении той или иной работы:
(Стоимость) ~ (Число работающих),
(Стоимость) ~ (Число часов работы).
Объединение этих двух формул дает:
(Стоимость) ~ (Число работающих)∙(Число часов).
88
Пожалуй, идеальный эксперимент с одним-единственным движущимся телом, бесконечно удаленным от всех других, которые были бы способны нарушить его движение, невообразимо труден. В самом деле, как мы могли бы наблюдать равномерное движение тел? Где бы мы находились и где бы находились наши «верстовые столбы»? Поскольку такое движение, если бы оно даже существовало, невозможно наблюдать, разумно ли говорить о нем как о части научного знания? Лучше смириться с незначительными помехами, которые создает трение, или возмущениями, связанными с земным тяготением.
89
Как можно убедиться в том, что проколы расположены на одной линии? Физик-экспериментатор воспользовался бы, вероятно, электрическим фонарем. Но если бы он не решился положиться на прямолинейность лучей света, то мог бы использовать туго натянутую нить и учесть ее провес, как это делают землемеры.
90
Идеальный способ калибровки — простой с точки зрения теории, но трудный на практике — заключается в том, чтобы подгонять пружины по их способности сообщать ускорение. Прикрепляя пружины поочередно к одной и той же тележке, сжимайте или растягивайте их, пока все они при некотором стандартном удлинении не будут сообщать ей одно и то же ускорение.
91
Или, если вам больше нравится, можно изготовить несколько одинаковых металлических грузов, каждый из которых притягивался бы землей так, чтобы растягивать пружины с силой 1 странг; затем, подвешивая 1, 2, 3… таких груза к основной пружине, отмечают ее удлинения на шкале; 1, 2, 3… странга.
92
Если не ввести какого-либо трения, пружина будет совершать паразитные колебания значительной амплитуды. Трение о шероховатые поверхности привело бы к погрешностям; идеальный результат обеспечивает трение в жидкости, позволяя «заглушить» колебание измерительного устройства: силы трения в жидкости возрастают с увеличением скорости и равны нулю, когда жидкость находится в состоянии покоя. (Подвесьте маятник в жидкости и посмотрите, как затухают его колебания. Чем больше вязкость жидкости, тем больше силы, препятствующие движению; в любом случае в конце концов колебания маятника успокаиваются, и он застывает в вертикальном положении.) Трение в жидкости никогда не изменяет положения равновесия. В нашем силомере шнур, прикрепленный к пружине, следует обмотать вокруг оси, нижний конец которой имеет лопасти и погружен в густое масло.
93
Замечания по поводу масс в опыте 2(в)
Получение удвоенной и утроенной массы. На лекции невозможно подбирать несколько одинаковых тележек и составлять их вместе. Массу тележки можно удвоить, положив на нее некоторое количество металла с той же массой, что и тележка, определив ее «взвешиванием». Мы находим количество металла, которое уравновешивает на весах пустую тележку. Тогда мы знаем, что земное притяжение действует на груз и тележку с одинаковыми силами. Мы знаем также, что при свободном падении тележка и груз падают с одинаковым ускорением. Следовательно, одна и та же сила сообщает одинаковое ускорение обоим телам. Поэтому массы груза и тележки одинаковы — это наше определение равенства масс (фиг. 149). Однако при этом мы приняли без доказательства, что гравитационная масса и инертная масса равны или по крайней мере пропорциональны друг другу.
Поправка на момент инерции колес тележки. При качении тележки по рельсам ее колеса вращаются и движение ободов требует приложения небольшой ускоряющей силы, как если бы тележка обладала добавочной массой. Вы встретитесь с этой «инерцией вращения» в другом месте нашего курса; ею можно воспользоваться в опыте 2(в). Уменьшим массу тележки, удалив небольшое количество материала, из которого она сделана, и тем учтем вращение колес. Ради простоты, каждый раз учитываем вращение колес, удаляя некоторое количество материала, а в последующем рассмотрении не считаем, что эта масса потеряна, поскольку она как бы заключена в колесах. Эту поправку на вращение колес можно рассчитать по данным колеса или оценить методом проб и ошибок. Применяя последний метод, мы используем два измерения в основном эксперименте, чтобы найти поправки, и лишь одно, третье, измерение — для ответа на главный вопрос.
94
Если это покажется странным, воспользуйтесь криволинейной поверхностью собственного лба в качестве наклонной плоскости и прижмите к нему палец. Лоб будет отталкивать палец с силой, направленной прямо от поверхности, если не считать трения, которое вы сможете почувствовать. Попробуйте представить себе, что трение при этом отсутствует.
95
Если вы намерены стать осторожным физиком, избегайте пагубного слова «создает». Все, что мы на самом деле знаем, это то, что силы и ускорение сопутствуют друг другу. Во многих случаях не удается независимым образом показать, что действует сила, просто мы считаем, что сила действует, поскольку наблюдается ускорение.
96
Качение шара вносит одно осложнение, о котором мы умолчали, поэтому для исследования этой зависимости между силой и ускорением мы пользуемся скольжением тел по наклонной плоскости «без трения» или наблюдаем движение тележки по рельсам. В последнем случае тележка движется прямолинейно, и лишь ее колеса вращаются.
97
Предположим, у нас имеется несколько наклонных плоскостей одинаковой высоты h, но с разным наклоном, и движение по ним происходит без трения (фиг. 152).
Фиг. 152.
Последим за скольжением какого-нибудь тела из состояния покоя в верхней точке каждой из наклонных плоскостей. Если ускорения пропорциональны h/L, можно предсказать, что во всех случаях тело к концу движения приобретет одну и ту же скорость v. Для равноускоренного движения из состояния покоя v>2 = 2as (см. гл. 1, приложение I), и если a = C(h/L), где С — постоянная, то v>2 = 2as = 2C(h/L)∙(Расстояние L) = 2C∙h, т. е. одинаково для всех наклонных плоскостей. Если же скорость v одинакова для всех наклонных плоскостей одной и той же высоты h, то ускорения должны быть пропорциональны отношению h/L. Галилей был убежден, что это свойство «одинаковой скорости» установлено им правильно, и во многих случаях пользовался им как отправной точкой при рассмотрении ускоренного движения.
98
Не так уж просто заметить, что зависимости F ~ а и F ~ М можно объединить В формулу F = K∙M∙а. Вспомним, что первые две формулировки содержат некоторые условия. Первая гласит: «F ~ а при неизменной массе М». Но если М постоянна, то мы сможем записать более общую формулу F = K∙M∙а.
Таким образом,
F = (K∙M)∙а = (Постоянная)∙а,
т. е. F ~ a.,
Следовательно, формула F = K∙M∙а включает утверждение «F ~ a, если М постоянна».
Второе утверждение гласит, что F ~ М, если ускорение а неизменно. Но если а остается неизменным, то мы можем записать формулу F = K∙M∙а следующим образом:
F = (K∙M)∙а = (Постоянная)∙М,
т. е. F ~ M.
Следовательно, формула F = K∙M∙а включает зависимости F ~ а и F ~ M при определенных условиях:
99
Для наших целей удобнее говорить, что масса — это отношение (сила)/(ускорение); это упрощает представление о незнакомой величине, какой является масса. Физики-специалисты обычно рассуждают как раз в обратном порядке. Они говорят, что масса представляет собой очевидную (!) меру тяжеловесности вещества (назвать это свойство вещества «инертностью» — значит просто присвоить ему некоторое наименование) и определяют силу как произведение (масса)∙(ускорение). Разумеется, это не устраняет сомнений с точки зрения логики, которые возникали в наших рассуждениях, а лишь «перемещает» их. Обе точки зрения могут быть приняты в качестве рабочих, но смешивать их было бы просто несовместимо с требованиями логики.
100
Рыба, пожалуй, сказала бы, что пузырьки воздуха поднимаются под действием силы плавучести, обусловленной земным отталкиванием.
101
Мы можем произвести опыт с измерением ускорения, не прикладывая к предмету сил, кроме действующего на него притяжения Земли. Предмет свободно падает с ускорением g, и мы применяем соотношение F = M∙а, как об этом рассказано дальше в этой главе.
102
До сих пор не найдено способа отгородиться от силы тяжести при помощи экрана или прекратить ее действие, и мы не ожидаем, что такой способ будет найден: гравитационные притяжения действуют через любую преграду. В этом отношении гравитационные поля непохожи на другие силы, известные в физике: магнитные поля частично экранируются железом, а электрическое поле совершенно не проникает внутрь замкнутой металлической коробки.
103
Заметьте, что на самом деле это не абсолютное измерение массы. Мы не можем запустить какую-то машину и получить от нее значение М в абсолютной системе отсчета, как при счете, скажем, кроликов или атомов и электронов. Мы просто берем наш эталон килограмма и определяем, «сколько в нем килограммов», что равносильно измерению отношения
НЕИЗВЕСТНАЯ МАССА X / МАССА ЕДИНИЦЫ 1 кг, или Х/1
Тем не менее мы называем этот результат абсолютной массой, поскольку говорим, что М выражено в килограммах в отличие от результата сравнения двух масс, когда получаем, например,
МАССА X / МАССА Y = 2
Сравним это с высказываниями: «Возраст А равен 40 годам», «Возраст В равен удвоенному возрасту С». Первое высказывание означает, что возраст А/1 год = 40; второе высказывание означает, что возраст В/возраст С = 2. Мы можем назвать первое утверждение абсолютным измерением, поскольку в нем используется эталонная единица, тогда как во втором случае говорят об относительном измерении. В известном смысле оба измерения являются сравнениями — всякое измерение представляет собой определение, сколько раз одна величина укладывается в другой.
104
Гл. 23 («Всемирное тяготение») входит в т. 2 настоящего издания.
105
Если это доказательство покажется вам длинным и нудным, рассмотрим следующий конкретный пример: сравним эталон килограмма, сделанный из платины, с камнем неизвестной массы. Сравним их инертные массы, перемещая поочередно каждое из тел в горизонтальном направлении под действием некоторой силы и измеряя ускорение. Предположим, что масса камня равна 5,31 кг. Земное тяготение в этом сравнении не участвует, затем сравним гравитационные массы обоих тел, измерив гравитационное притяжение между каждым из них и каким-нибудь третьим телом, проще всего Землей. Это можно проделать путем взвешивания обоих тел. Мы увидим, что гравитационная масса камня тоже равна 5,31 кг.
106
Измерение ускорения в опытах с тележкой на рельсовом пути представляет собой способ истинного сравнения массы X с эталоном (при этом необходимо третье измерение для исключения неизвестной массы тележки и т. д.).
С помощью пружинных весов сравнивают земное притяжение (фиг. 160), т. е. вес X сравнивают с весом эталона килограмма. Поскольку оба измерения производятся в одном и том же месте, где g одно и то же, символический эксперимент служит для этих измерений подтверждением косвенного способа сравнения масс. Чтобы взвесить X, т. е. определить приложенное к X притяжение Земли по сравнению с притяжением Земли, действующим на эталон килограмма, можно воспользоваться обычными весами, символический эксперимент тел служит для этих измерений подтверждением косвенного способа сравнения масс.
На фиг. 162 (стр. 271) показано, как сравнить массы в опытах с измерением ускорения, пользуясь вместо силомера обыкновенным грузом. Рассуждения в этом случае более сложные, ибо в движущуюся массу необходимо включить и массу груза.
107
Гл. 26 («Энергия») и гл. 29 («Экспериментальные основания закона сохранения энергии») входят в т. 2 настоящего издания.
108
Это относится в основном к английскому языку, где слово «Weight» означает и «вес» и «гиря». — Прим. перев.
109
Измерьте ускорение во всех трех случаях и, воспользовавшись соотношением F = K∙M∙а и правилами алгебры, найдите отношение (X кг)/1 кг), (Силу F, массы М>0 в М тележки и груза и численное значение постоянной К знать не нужно.)
110
Период колебаний атома водорода в молекуле метана равен 0,0000000000000114 сек, или 1,14∙10>-14 сек; период колебаний атома тяжелого водорода равен 0,0000000000000160 сек, или 1,60∙10>-14 сек.
111
Мы можем сделать К = 1 путем подбора единиц точно таким же способом, как ученые времен Наполеона приравняли плотность воды единице, выбрав, исходя из этого, величину грамма. Они решили определить грамм как массу одного кубического сантиметра воды, пытаясь для этого (не вполне успешно) изготовить эталон килограмма из такого количества металла, который уравновешивал бы 1000 см>3 воды. Если бы им это удалось, то тем самым плотность воды была бы сделана равной в точности 1,000 г/см>3. Заметим, что плотность, не равна просто 1, а 1 г/см>3. Наша постоянная К равна не просто 1, а 1 (ньютон)/(кг∙м/сек>2). Однако об этом редко вспоминают.
112
Например, эксперимент показывает, что сила, равная земному притяжению, действующему на 2 т, сообщает 1000 кг ускорение, близкое к 730 дюйм/сек>2. Если мы хотим воспользоваться этими непривычными и неудобными единицами, мы должны так подогнать значение К, чтобы соотношение F = K∙M∙а оставалось справедливым. Тогда 2 m силы = К(1000 кг)∙730 дюйм/ сек>2). Следовательно, постоянной К нужно придать значение 2/730 000. Соотношение F = (2/730 000)∙М∙а справедливо для приведенных выше данных, и мы полагаем, что оно сохранится для любого набора результатов измерений, выраженных в таких же нелепых единицах.
113
До последнего времени инженеры считали, что основные задачи, которые им приходится решать, связаны с весом предметов вблизи поверхности Земли, поэтому выбранная ими единица — килограмм силы — удобна для работы. Тем временем физики, заглянув внутрь атомов, пришли к выводу, что в их задачах важнее всего масса, тогда как вес не играет существенной роли в мире атомов и вводит в заблуждение при решении проблем астрономии. Поэтому физики предпочитают записывать закон Ньютона в виде F = M∙a, беря килограмм в качестве единицы массы. В современную эпоху инженерные проблемы требуют нового подхода: космические полеты совершаются в области, где g имеет различные значения, а ядерная техника имеет дело с атомными частицами, для которых важное значение имеет масса и даже изменения массы. Новая техника сливается с новой физикой, когда инженерам приходится выражать силу в абсолютных единицах и ясно представлять себе, что такое масса.
114
Смена единиц кажется нам здесь чем-то похожим на внезапное переключение одних единиц на другие. На самом деле, мы лишь заменили одно название другим, перейдя от кг∙м/сек>2 к более короткому наименованию ньютон. Когда мы пользуемся соотношением F = M∙a, мы выражаем F в ньютонах и, следовательно, имеем в левой части уравнения некоторое количество ньютонов, а в правой части у нас килограммы, умноженные на м/сек>2. Следовательно, мы должны считать, что ньютон — это то же самое, что кг∙м/сек>2. Или, в частном случае, если F = 1, M = 1 и а = 1, мы имеем
1 ньютон = 1 кг∙1 м/сек>2,
что дает нам связь между единицами: 1 ньютон = 1 кг∙м/сек>2. Это соотношение вытекает из простого факта, что ньютон сообщает 1 кг ускорение 1 м/сек>2, в самом деле это следует из определения ньютона. (Обратите внимание, что во всех этих рассуждениях мы забыли постоянную К = 1, присутствующую в скрытой форме в соотношении F = M∙a. Если мы считаем, что постоянная К выражается в некоторых единицах, как об этом говорилось в одном из предыдущих примечаний, то связь между единицами станет самоочевидной, но запись будет более громоздкой и нужно будет не забывать каждый раз подставлять единицы для К. В этом курсе мы забудем о К и будем рассматривать ньютон как название единицы килограмм∙метр/сек>2.)
115
Если вас это озадачивает, то подумайте над следующими тремя утверждениями в отношении силы, действующей на нить (фиг. 179):
а. Сила, которую развивает (или которую испытывает) нить на каждом из концов, равна 5 кГ.
б. Результирующая сила, приложенная к нити (5 кГ) + (—5 кГ) = 0.
в. Полная сила (5 кГ) + (5 кГ) = 10 кГ.
Сила в формулировке а — очень удобное понятие, оно говорит нам о том, как нить способна воздействовать на предметы, которые она тянет, и заслуживает присвоенного ему названия «натяжение».
Схема б правильная, но не пользующаяся успехом. Мы уже употребляли термин «результирующая сила». Сила в случае в не имеет практического значения, и мы не даем ей никакого названия.
116
«Не премьер-министр, а его двоюродный брат, который был великим математиком» (Бертран Рассел).
117
Есть русский перевод: «Наука и гипотеза», Петербург, 1906.
118
3) Автор имеет в виду второй закон Ньютона. — Прим. перев.
119
В каждом случае, когда требуется произвести «сравнение» с весом тела, лучше всего дать ответ в виде дроби, например: «сила равна 3/4 веса грузовика», «сила, которую развивает слон, составляет 10 % его веса» и т. д. Чтобы получить такую дробь, нужно выразить рассматриваемую силу в тех же единицах, что и вес.
120
См. предыдущее примечание.
121
В то же время следующий вопрос, который как будто бы похож на «задачу» В, имеет вполне определенный ответ.
С. Горизонтальная струя воды, выбрасываемая из брандспойта со скоростью 10 м/сек, попадает на вертикальную стену. Расход воды в рукаве 200 л/сек. Струя тормозится и вода стекает по стене. С какой силой вода действует на стену?
122
Мы, естественно, можем наблюдать изменение вертикального движения снаряда и оценить по этому изменению действие силы земного притяжения. Здесь мы рассматриваем изменения горизонтального движения.
123
Произведению (сила)∙(время), присвоено наименование «импульс силы». Поэтому можно сказать, что импульс силы равен изменению количества движения.
Название «импульс» соответствует тому, что одно и то же изменение количества движения может быть произведено как малой силой за длительное время, так и огромной силой, действующей в течение короткого промежутка времени. Во многих случаях при ударах и столкновениях мы не знаем величину силы F или времени ее действия t, а знаем лишь их произведение Ft — импульс силы, измеренный по изменению количества движения.
124
Точка между единицами означает, что единицы перемножаются. Вы уже давно встречались с таким перемножением единиц в задачах по арифметике, в которых фигурируют «человеко-часы». Дефис в качестве знака умножения можно спутать со знаком вычитания. Мы пользуемся здесь более современным символом — точкой, например в единицах ньютон∙метр, человека∙часы и т. д.
125
Эти единицы совместимы. Вспомните, что, согласно соотношению F = M∙a, 1 ньютон сообщает массе 1 кг ускорение 1 м/сек>2
F = M∙a
1 ньютон = (1 кг)∙(1 м/сек>2),
1 ньютон = 1 кг∙м/сек>2,
(1 ньютон)>F∙(1 сек)>t = 1 кг>Mм/сек>v
126
Дальнейший геометрический анализ приводит к замечательному результату: при развале любого тела, которому сообщена скорость, будь то снаряд, ракета или атомное ядро, центр тяжести его осколков продолжает двигаться после взрыва по той же траектории, что и до взрыва. Предположим, что ракета, движущаяся по эллипсу в поле тяготения Земли, взрывается или выбрасывает вторую ступень. Центр тяжести (или центр масс) отдельных частей ракеты продолжает двигаться по эллипсу, как если бы ничего не случилось, пока один осколок не попадет на Луну или не возвратится на Землю или пока трение о воздух не станет нарушать изолированность системы. Нет ничего удивительного в том, что физики-ядерщики предпочитают изучать столкновения в системе, связанной с центром масс сталкивающихся частиц.
127
Измерение скорости без измерения траектории сложнее, но его можно произвести, сделав серию моментальных фотографий на пленке через равные промежутки времени.
128
Гл. 39 («Радиоактивность») входит в т. 3 настоящего издания.
129
Специалисты-физики, анализируя такие снимки, исходят из предположения о сохранении количества движения и кинетической энергии и с помощью алгебры и тригонометрии выражают отношение M>В/M>А через одни только углы. Это избавляет от трудностей, связанных с косвенным методом оценки скоростей. В тех редких случаях, когда столкновение оказывается неупругим, скорости оценивают по длине следов; скорости, приведенные в этой задаче, представляют собой как раз значения, получаемые при такой оценке. Произвольная единица скорости близка к 10 000 000 м/сек.
130
Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.
131
Если происходит столкновение двух грузовиков и вы наблюдаете за изменением количества движения только одного из них, то количество движения не будет сохраняться. Чтобы зафиксировать сохранение количества движения, нужна следить за количеством движения обоих грузовиков, т. е. вообще всех участвующих в столкновении тел. Именно это имеют в виду, говоря о замкнутой системе: рассматриваются все взаимодействующие тела.
132
При очень тесном сближении тел атомные силы отталкивания начинают преобладать над «дальнодействующими» силами притяжения, которые удерживают вместе частицы в твердых телах, создают «поверхностное натяжение» и обусловливают некоторые химические связи. Притяжение простирается на несколько диаметров молекул и возрастает по мере сближения частиц, но не так быстро, как силы отталкивания. Силы отталкивания нарастают быстро, и в равновесном положении атомов на поверхности твердых тел и т. п. в точности уравновешивают силы притяжения. Когда мы пытаемся еще больше сблизить атомы (при любых столкновениях), силы отталкивания начинают превышать силы притяжения и противодействуют производимому нажиму. Силы отталкивания должны существовать, иначе вещество потеряет устойчивость — частицы «слепятся» (это состояние называют коллапсом).
Мы считаем, что оба рода сил имеют электрическую природу. Близкодействующие силы отталкивания возникают, когда один атом пытается проникнуть внутрь другого. В этом случае электроны сопротивляются проникновению других электронов внутрь своих орбит, а ядра, не полностью экранированные электронами, также отталкивают друг друга. Механизм этих явлений не так просто иллюстрировать или объяснить. Некоторые дополнительные значения приведены в гл. 44 («Современная физика», входит в т. 3 настоящего издания).
133
Проводя пальцем по шероховатой поверхности стола, вы ощущаете действие сил трения. Опять-таки речь идет лишь о больших по величине силах, никакого «соприкосновения» между атомами твердых тел нет. Это силы отталкивания между пальцем и неровностями стола. Когда вы ощущаете наличие трения между очень гладкими поверхностями, например при скольжении металла по металлу, это значит, что действуют атомные силы притяжения, т. е. крошечные частицы металла стираются с одной поверхности и переходят на другую. Как показывает химический анализ, при трении железа о медь происходит перенос небольшого количества меди на железо, иногда в микроскоп видны ветвеобразные следы меди. Известно, что при трении меди по меди также происходит обмен микроколичествами металла между трущимися поверхностями, даже если не видно никаких следов.
Возникает вопрос: каким образом можно узнать об этом и измерить участвующие в обмене количества металла, если нет такого химического анализа, который бы позволил отличить одну медь от другой? В последующих главах вы узнаете о замечательном методе, которым для этого пользуются.
134
Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.
135
Предположим, вы стоите на роликовых коньках и я толкаю вас кулаком в живот с силой 100 ньютон. Пока вы движетесь с ускорением, это будет причинять вам боль. В то же время ваше противодействие или ответный толчок действует на меня, а не на вас, и мой кулак почувствует приложенное к нему ответное толкающее усилие 100 ньютон. Если я стою на роликовых коньках, то я тоже буду двигаться с ускорением, направленным в противоположную сторону.
136
«Ложные доказательства». Иногда можно встретиться с таким доказательством (фиг. 212).
«У меня на ладони лежит книга. Поскольку книга находится в состоянии покоя, я действую на нее с силой, направленной вверх и в точности равной силе, с которой книга давит на мою руку вниз». Последняя фраза утверждает, что действие равно противодействию; но предыдущая фраза, выделенная курсивом, вообще не содержит никакого утверждения. Тут две ошибки:
А) На книгу действует только одна из двух сил, о которых говорилось выше, а именно сила реакции моей руки Р, направленная вверх. На книгу действует еще одна совершенно независимая от других сила — притяжение Земли W. Если книга находится в состоянии покоя, то мы считаем, что Р = —W (первый закон Ньютона). Но это не убеждает нас в том, что Р = —Q, где Q — направленная вниз сила давления книги на мою руку (третий закон Ньютона).
Б) Книга вовсе не обязательно должна покоиться. Она может двигаться с ускорением. Если я опускаю руку с ускорением, направленным вниз, то при этом я уменьшаю силу Р. Значит, силы Р и W, приложенные к книге, уже не уравновешиваются. Тем не менее мы считаем, что действие и противодействие сил рука — книга, т. е. силы Р и Q, по-прежнему равны и противоположны друг другу, хотя наше убеждение не основано на приведенном ошибочном доказательстве.
137
Количество движения — это вектор, обладающий величиной и направлением. Поскольку произведение (сила)∙(время) дает изменение количества движения, то количество движения должно подчиняться правилу сложения векторов точно так же, как и сила. Начертите оба вектора количества движения (они перпендикулярны друг другу) и, воспользовавшись этим построением, найдите сумму.
138
Треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4, 5, — это прямоугольные треугольники.
139
Гл. 22 («Исаак Ньютон») входит в т. 2 настоящего издания.
140
В «модельных» опытах, показанных на фиг. 225 и 226, мы наблюдаем линии тока в случае очень медленного течения, при котором определяющую роль играет внутреннее трение жидкости (вязкость). Более быстрое течение, при котором распределение давления определяется изменением количества движения, а не внутренним трением, дает точно такую же картину линий тока. При значительно более быстром течении линии тока превращаются в вихри.
141
Исключение составляет квантовая жидкость HeII. — Прим. ред.
142
Силы, обусловленные внутренним трением, пропорциональны v при ламинарном течении и v>3/2 при течении с пограничным слоем, в то время как силы, обусловленные изменениями количества движения вследствие изменения скорости потока, пропорциональны v>2. Поэтому силы такого типа играют более важную роль при больших скоростях, до того как происходит и начинает играть большую роль образование вихрей.
В уравнении сила = (изменение Mv)/(время) Mv содержит множитель v, но время прохождения массы М пропорционально 1/v. Поэтому сила пропорциональна v>2.
143
Гл. 32 («Электрические цепи») входит в т. 3 настоящего издания
144
Гл. 30 («Плодотворное развитие кинетической теории газов») входит в т. 2 настоящего издания.
145
Такие законы следовало бы называть «предположениями ad hoc», а основанные на них построения — «теорией ad hoc»; ad hoc означает «для этой (цели)». Объяснения первобытных чародеев полны сделанными ad hoc предположениями об особых духах или воздействиях. Современная наука иногда тоже прибегает к ним, например, когда биологи для «объяснения» роста растений в направлении к свету говорят, что растения «стремятся быть лицом к солнцу». Мы считаем подобные объяснения неудачными, если не откровенным мошенничеством, за исключением тех случаев, когда они помогают связать вместе несколько различных фактов.
146
Такая картина приемлема для быстро вращающегося грубого мяча, вроде бейсбольного. Полное рассмотрение более сложно [см. Amer. Journal of Physics, 27, 589 (1959)]. Очень гладкий мяч, вращающийся с умеренной скоростью, увлекает только тонкий «пограничный слой» окружающего воздуха и часто отклоняется «не в ту сторону»!
147
Это рассуждение с помощью «встречного ветра» полезно. Его можно применить, например, при рассмотрении звуковых волн, где с помощью второго закона Ньютона оно позволяет нам предсказать, что скорость звука в воздухе будет равна √[(7/5 (давление воздуха)/(плотность воздуха)].
148
В «мелком» озере скорость течения пропорциональна 1/r. Но если бы А и В находились в «глубоком» океане, то скорость течения была бы пропорциональна 1/r>2. Распределение суммарных линий тока в обоих случаях было бы примерно одинаковым.
149
Вопрос трения о воздух сложен, и этот раздел можно опустить.
150
Энергию этого турбулентного движения оплачивает человек, который закупает для самолета бензин. В конце концов вихревое движение превращается в движение отдельных молекул, в теплоту, немного согревая воздух позади самолета, как раз на столько, на сколько он нагрелся бы, если бы для его подогрева сожгли такое же количество бензина!
151
В точности такой же результат получается и при рассмотрении неподвижного крыла во встречном ветре, имеющем скорость v, при условии, что крыло делает неподвижным весь воздух, который оно встречает.
Тогда опять за t сек крыло остановит слой воздуха длиной v∙t; его масса = (плотность)∙(A∙v∙t). Скорость этой массы воздуха изменяется от v до нуля; при этом теряется количество движения = (плотность)∙(A∙v∙t)∙(v).
Следовательно,
F∙t = d∙A∙v>2∙t, или F = d∙A∙v>2.
Заметьте, что этот расчет в точности напоминает задачу, в которой на стену льется струя воды из брандспойта. Действительно, в нашем случае струя воздуха обливает крыло. Как и в той задаче, (сила) ~ v>2.
152
В задаче в конце гл. 26 [(«Энергия») входит в т. 2 настоящего издания] показано, что после упругого столкновения мяча с массивным движущимся предметом скорость мяча возрастает на удвоенную скорость предмета. Таким образом, мяч приобретает одну и ту же долю, 2m/М, от количества движения предмета, независимо от скорости предмета. В нашем случае на такие столкновения накладывается беспорядочное движение молекул, но это не изменяет общего эффекта.
153
Задача не требует применения алгебраической записи принципа Бернулли. Ответ можно дать на основании простой формулировки принципа, но ход рассуждения требует внимания и смелости.
154
Гл. 44 («Современная физика») входит в т. 3 настоящего издания.
155
Проработайте предлагаемые задачи, заполняя пропуски, оставленные для ответов.
156
Изменения скорости должны произойти за один и тот же промежуток времени, поскольку период (полное время, в течение которого происходят все изменения) один и тот же при любых малых отклонениях. Таким образом, свойство независимости периода колебания маятника от амплитуды используется в ходе этих рассуждений дважды.
157
Этот результат получен здесь для сил, действующих в крайних точках колебаний с различными амплитудами, но те же самые соотношения должны сохраняться между силой F и отклонениями от положения равновесия х на различных стадиях одного колебания. Земное тяготение не знает, находится ли маятник в крайнем положении при малом отклонении или проходит это положение, совершая колебание с большой амплитудой.
158
Гл. 23 («Всемирное тяготение») входит в т. 2 настоящего издания.
159
В этом случае нетрудно произвести расчет и выяснить, как давление, обусловленное разностью уровней, создает «возвращающую силу», которая заставляет жидкость двигаться с ускорением. Мы найдем, что период колебаний такой же, как у простого маятника, длина которого равна половине столба жидкости в трубе. Проверьте, если хотите, это в лаборатории. Период один и тот же независимо от вида жидкости. К этому выводу можно прийти путем простых рассуждений,
160
Эта формула выводится здесь с помощью математического анализа; существуют и другие способы вывода этой формулы, но они не столь непосредственны и громоздки. Вы можете найти их в учебниках по общей физике.
161
Гл. 26 («Энергия») входит в т. 2 настоящего издания.
162
Гл. 31 («Математика и теория относительности») входит в т. 2 настоящего издания.
163
Так называемый «монохроматический» свет. Например, желтый свет от окрашенного солью пламени или от натриевой лампы уличного освещения. Белый свет, пропущенный через зеленое стекло, взятое в качестве фильтра, — не монохроматический свет, он представляет собой целую гамму зеленых тонов, крайние участки которой могут отличаться: по длине волны на 10 %.
164
Если смотреть на блестящую швейную иглу, освещенную солнцем, через стеклянную призму, держа призму близко к глазу, то можно увидеть темные линии в солнечном спектре. По этим линиям вы можете узнать, что в атмосфере Солнца есть натрий, водород и другие химические элементы. Изучение линий солнечного спектра привело к открытию гелия, когда он еще не был известен на Земле.
165
Поглощая эти лучи, газы снова испускают их, но уже во всех направлениях. Поэтому доля света, идущего в прежнем направлении, слишком мала по сравнению с интенсивностью всех других цветов в лучах, идущих от Солнца.
166
Не совсем искусственного. Мы можем получить картину стоячих волн, посылая волны по веревке, второй конец которой прикреплен к стене, так, чтобы они складывались с отраженными волнами. Ребенок, сидя в ванне и шлепая ладошкой по воде, тоже создает стоячие волны: «прямые» волны от ударов по воде складываются с «обратными» волнами, отраженными от стенок ванны. Подобной системой мы пользуемся для измерения коротких радиоволн. Экспонируя фотоэмульсию, расположенную на зеркале, можно также наблюдать эффекты стоячих световых волн.
167
Автор выражает благодарность профессорам Юно Ингарду и Фрэнсису Фридману, подсказавшим этот весьма остроумный вывод. В других вариантах вывода либо пользуются математическим анализом, либо, пытаясь обойтись без него, прибегают к более сложным схемам.
168
Гл. 37 («Магнитные силы») входит в т. 3 настоящего издания.
169
Гл. 30 («Плодотворное развитие кинетической теории газов») входит в т. 2 настоящего издания,
170
В современной физике примерами могут служить оценки и предположения, которыми пользуются в исследованиях космических лучей. Одни эксперименты в этой области физики отличаются высокой точностью, другие дают приближенные оценки, которые тем не менее играют первостепенную роль при построении новой теории.
171
Некоторые математики и физики предпочитают употреблять выражение «находится в прямой зависимости» или «изменяется прямо пропорционально», говоря о зависимости между непрерывно изменяющимися величинами, и сохраняют выражение «пропорционально», имея в виду соотношение между отдельными значениями величин. Например: рост ребенка D, увеличиваясь равномерно от 60 см в 3 года, становится равным 1 м 20 см к 6 годам и 1 м 80 см к 9 годам (гигант!). Тогда можно сказать, что в пределах указанного промежутка лет «рост ребенка D изменяется прямо пропорционально его возрасту».
Предположим, что рост трех равных детей А, В, С в возрасте 3 года, 6 и 9 лет равен (сегодня) 60 см, 1 м 20 см и 1 м 80 см. Мы можем тогда сказать, что «рост детей А, В, С пропорционален их возрастам». Оба случая изображены графически на фиг. 293.
172
Дело в том, что мы стремимся его отыскать.
173
Заметьте, что связь и соотношение между величинами не означает отношение или дробь в арифметическом смысле.
