Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [77]

То же и с бутылкой Клейна. Австрийско-канадский математик Лео Мозер в форме лимерика описал, как родилась идея этой поверхности:

Ленту Мёбиуса Клейн свято чтил,

Их двух лент он флакон сотворил.

“Просто склеить края,

И бутылка моя

Получается”, – он говорил.

Потому у бутылки Клейна и нет краев: когда концы двух лент Мёбиуса (c правой и левой закруткой) соединяются вместе, образуется единая связная поверхность. Еще один способ сделать бутылку Клейна – начать с квадрата. Нужно соединить вместе пару его противоположных сторон, а потом в получившемся цилиндре состыковать вторую пару сторон, предварительно перекрутив одну из них на пол-оборота. Вот только этот второй шаг, хоть он и кажется простым, невозможно осуществить в трехмерном пространстве. Чтобы заставить поверхность пройти сквозь саму себя, не проделывая в ней отверстия, без четвертого измерения не обойтись. Впрочем, это мелкое затруднение не мешает энтузиастам изготавливать трехмерные модели, которые почти идеально (но все же не совсем точно) воспроизводят бутылку Клейна. Среди таких умельцев есть настоящие эксперты своего дела: например, Клиффорд Столл из Окленда (Калифорния, США), возглавляющий компанию Acme Klein Bottle, и Алан Беннетт из Бедфорда (Англия), который изготовил для лондонского Музея науки целую серию бутылок Клейна, аналогичных лентам Мёбиуса с нечетным числом оборотов больше одного. Математики называют подобные модели “погружениями” бутылки Клейна в трехмерное пространство. Погружение – не то же самое, что вложение. Не углубляясь в технические детали, скажем лишь, что в трехмерной модели (то есть при погружении) бутылки Клейна всегда будет место, где ее поверхность пересекает сама себя. Истинная же бутылка Клейна не имеет такого самопересечения, и его действительно не будет при ее вложении в четырехмерное пространство.

Другое важное свойство бутылки Клейна, да и любой другой поверхности, связано с ориентируемостью. Большинство поверхностей, с которыми нам приходится иметь дело в физическом мире, “ориентируемы”. Это значит, что если нарисовать на такой поверхности маленькую круговую стрелку, указывающую либо одно, либо другое направление, а потом двигать ее вдоль всей поверхности, пока она не вернется на исходное место, то по возвращении стрелка будет указывать прежнее направление. Так будет, к примеру, если взять сферу или тор: и то и другое – ориентируемые поверхности. А вот попробуйте-ка сделать то же самое с бутылкой Клейна или лентой Мёбиуса – и увидите, что, обойдя всю поверхность, стрелка-путешественница изменит направление на противоположное, поскольку эти поверхности неориентируемы.

Топологам приходится то и дело мысленно переключаться между пространствами разной размерности. Чтобы оперировать при этом некими общими понятиями, они изобрели для себя целый словарь специальных терминов. С “вложением” и “погружением” мы уже знакомы. Еще один – “многообразие”: это обобщение термина “поверхность” в приложении к другим измерениям. Все то, что мы называем “поверхностью”, по определению двумерно, поэтому правильно говорить не “двумерная поверхность” (это тавтология), а “двумерное многообразие”. Сфера, тор, лента Мёбиуса и бутылка Клейна – все это примеры двумерных многообразий. Первые три из них можно вложить в трехмерное пространство, а бутылку Клейна – нет. Прямые и окружности – это одномерные многообразия, а кроме них есть еще (хоть мы и не способны толком их себе представить) трехмерные многообразия, четырехмерные и так далее. Одно из простейших трехмерных многообразий – это трехмерная сфера. Подобно обычной двумерной сфере, которая представляет собой поверхность, ограничивающую шар в трехмерном пространстве, трехмерная сфера – это объект, имеющий три измерения и образующий границу четырехмерного шара. Мы не можем точно представить себе, как выглядел бы трехмерный аналог поверхности, не говоря уже о границах в более высоких измерениях. Но, несмотря на эту нашу ограниченность, у математиков есть весь инструментарий, необходимый им, чтобы оперировать подобными понятиями.

При работе с высшими измерениями порой открываются совершенно неожиданные вещи. В четырехмерном пространстве, например, окружности не могут зацепляться, а обычных узлов просто не существует. То же касается и более высоких размерностей. В четырех измерениях происходит еще одна диковинная штука: сферы там могут “заузляться”. Представить, как это выглядит, мы не в силах – но ведь и двумерные существа так же были бы неспособны представить себе, как окружности могут быть заузлены и при этом не пересекать сами себя.

Как и все другие разделы математики, топология – динамично развивающаяся область знаний, в которой ежегодно делаются новые открытия и ждут своего решения старые и новые проблемы. Одна из наиболее важных – и в топологии, и в математике в целом – известна как гипотеза Пуанкаре. Ее важность не в каком-то очевидном практическом применении: вряд ли она поможет нам быстрее добраться до Марса или найти лекарство от старения. Ее значение для математики чисто теоретическое, оно связано с работой по классификации поверхностей (то есть многообразий) высших размерностей.