Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [76]
Узлы и зацепления нашли даже в само́й химии жизни. Белки хорошо известны своей способностью сворачиваться в определенные формы, которые определяют то, как они функционируют в биологических системах. Совершенно неожиданно для себя в середине 1990-х годов биологи открыли, что белки могут образовывать узлы и даже сцепленные кольца. Нам, чтобы завязать любой, пусть даже самый простой, узел, нужно целенаправленно продевать свободный конец веревки в петлю. Непонятно было, каким образом белки способны не только спонтанно осуществлять самосборку, но еще и умудряться завязываться при этом в узлы. Собственно, при построении большинства математических моделей, предсказывающих результат сворачивания белков на основании затрачиваемой энергии, образование любых структур, имеющих форму узлов, заведомо исключалось – настолько невозможным это казалось. Ученым еще только предстоит разобраться, как в белках образуются узлы – и зачем.
В начале 2017 года группа химиков из Манчестерского университета объявила о создании самого тугого узла за всю историю. Состоящий из 192 соединенных в цепочку атомов, он имеет в ширину всего 20 миллионных миллиметра – примерно в 2 000 раз тоньше человеческого волоса. Молекулярная нить, содержащая атомы углерода, азота и кислорода, перекрещивается восемь раз и скручивается в тройную спираль. Расстояние между точками перекрещивания нити – именно оно определяет, насколько узел тугой, – составило всего 24 атома.
Есть в научном мире и другие необычные топологические структуры. Одна из самых удивительных – уже упомянутая лента Мёбиуса. В 2012 году химики из Университета Глазго сообщили, что им удалось превратить симметричную кольцеобразную молекулу в асимметричную, добавив в кольцо молибден-кислородное звено с формулой Mo>4O>8. Добавленное звено перекрутило кольцо на пол-оборота, превратив его в ленту Мёбиуса.
Сделать самостоятельно ленту Мёбиуса под силу даже ребенку. Посложнее обстоят дела с другой односторонней поверхностью – бутылкой Клейна, названной в честь немецкого математика Феликса Клейна, впервые ее описавшего. Предполагают, что сначала она именовалась Kleinsche Fläche, что означает “поверхность Клейна”, но впоследствии название исказили и она превратилась в Kleinsche Flasche – “бутылку Клейна”. Так или иначе, это название прижилось, а возможно, даже способствовало популярности объекта, несмотря на то что слово “поверхность” точнее описывает его суть.
В отличие от ленты Мёбиуса, у бутылки Клейна нет краев или границ, что роднит ее со сферой. Но в отличие от сферы, у бутылки Клейна нет внутренней и внешней стороны – они идентичны, – поскольку она представляет собой единую поверхность, переходящую саму в себя. В реальном мире мы с подобным обычно не сталкиваемся. Нам привычнее объекты вроде банок с бочонками или бутылок с божоле, имеющие четко определенные внутреннюю и внешнюю стороны, а значит, заключающие в себе определенный объем. Но поскольку бутылка Клейна не разделяет пространство на две различных области, то она ничего в себе и не заключает, а стало быть, ограничивает нулевой объем.
Бутылка Клейна, погруженная в три измерения. Ее “внутренняя” и “внешняя” стороны на деле неразличимы. Обычными способами этого не добиться – ее невозможно вложить в трехмерное пространство, – поэтому в нем поверхность бутылки Клейна пересекает саму себя.
И сферы, и торы, и ленты Мёбиуса – все это примеры двумерных поверхностей, которые можно “вложить” в трехмерное пространство. У термина “вложение” есть строгое математическое определение, но, если по-простому, это все равно что поместить одно пространство внутрь другого, отличного от него. Важно помнить, что сферы, ленты Мёбиуса, бутылки Клейна и другие геометрические объекты – это все абстракции, свойства которых никак не зависят от пространства, в котором они находятся: от того, сколько в нем измерений, плоское оно или искривленное и так далее. Но кое-что при вложении в разные пространства все же меняется. Например, тор можно вложить в три измерения (именно в таком виде мы с ним обычно и сталкиваемся), и тогда у него появляются отверстие – настоящее, математическое отверстие – и внешняя и внутренняя стороны.
Кое-кто из читающих эту книгу, возможно, еще помнит автоматы с классической игрой “Астероиды”. Управляя космическим кораблем, игрок должен сбить как можно больше пролетающих мимо него астероидов и летающих тарелок. Казалось бы, ничего общего со знакомым бубликом-тором. Но топологически они совершенно идентичны: и то и другое имеет тороидальную форму. Отверстие в бублике – это признак, появляющийся в результате погружения тора в три измерения, а вовсе не постоянное свойство всех торов. В “Астероидах” тороидальная топология пространства проявляется не в отверстии, а в том, как объекты, исчезающие с одной стороны экрана, тут же появляются с другой. Еще тор можно вложить в четырехмерное пространство. Одним из результатов такого вложения может оказаться тор Клиффорда, названный в честь жившего в Викторианскую эпоху математика Уильяма Кингдона Клиффорда (он, кроме прочего, впервые предположил, что тяготение – это следствие геометрии пространства, в котором мы живем). В отличие от хорошо известного нам тора-бублика с четко различимыми внешней и внутренней сторонами, тор Клиффорда не разделяет пространство, а потому ни внутренней, ни наружной стороны у него просто нет.
