Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [78]

Гипотезу впервые выдвинул в 1900 году Анри Пуанкаре, один из основателей топологии как точной научной дисциплины. Многие почитают его как “последнего универсала” – эксперта во всех областях математики своего времени[54]. Пуанкаре разработал методику под названием “гомологии”, которая представляет собой, упрощенно говоря, способ определять и относить к той или иной категории отверстия в многообразиях. Здесь все не так очевидно, как может показаться, поскольку математические отверстия – штуки довольно хитрые, их не так просто заметить и сосчитать, как, скажем, дырки в кренделе или в старом носке. Двумерное пространство в “Астероидах”, например, топологически эквивалентно тору, хотя у тора есть совершенно очевидная дырка, а в пространстве “Астероидов” ее как-то не заметно. Нельзя забывать, что математические отверстия – это абстрактные понятия, которые бывает труднее себе представить, чем, допустим, дырку в бублике; а кроме того, они еще окружены “петлями” – так что гомологии можно определить и как способ анализа различных типов петель в многообразиях.

Исходное предположение Пуанкаре заключалось в том, что гомологий достаточно, чтобы определить, является ли то или иное трехмерное многообразие топологически эквивалентным трехмерной сфере. Но уже через несколько лет он сам опроверг эту гипотезу, построив контрпример: гомологическую сферу Пуанкаре, которая истинной трехмерной сферой не является, но имеет те же гомологии. После дальнейших исследований он сформулировал свою гипотезу в новом виде. Если говорить простым языком, она гласит, что любое конечное трехмерное пространство, не имеющее отверстий, может быть непрерывно деформировано в трехмерную сферу. Несмотря на все усилия математиков, в XX веке эта гипотеза так и осталась недоказанной. Ее значение было столь велико, что в 2000 году Математический институт Клэя включил ее в список семи важнейших проблем, за решение которых объявил вознаграждение в миллион долларов США. Три года спустя справедливость гипотезы Пуанкаре доказал российский математик Григорий Перельман в ходе доказательства другой близкой проблемы – гипотезы геометризации Тёрстона.

В 2006 году Перельману была присуждена Филдсовская премия, которую считают самой престижной наградой в математике и часто приравнивают по статусу к Нобелевской. Затем, в 2010 году, было объявлено, что его работа отвечает критериям для вручения 1 000 000 долларов от Математического института Клэя. Однако Перельман от обеих наград отказался, по всей видимости, по соображениям этического порядка. Во-первых, по его мнению, они не отражали важный вклад, который внесли в решение проблемы другие ученые, в первую очередь американский математик Ричард Гамильтон, чью работу Перельман развил и продолжил. Кроме того, он был недоволен неэтичным поведением некоторых исследователей, в особенности китайских математиков Чжу Сипина и Цао Хуайдуна, опубликовавших в 2006 году статью с результатами проверки доказательства Гамильтона – Перельмана, но при этом пытавшихся создать впечатление, что авторы доказательства – они сами. Позже они отозвали исходную статью, озаглавленную “Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: приложение теории Гамильтона – Перельмана о потоках Риччи”, и опубликовали новый вариант, с более скромными формулировками. Но сделанного не вернуть: Перельман был глубоко разочарован как их поведением, так и отсутствием осуждения их действий со стороны других математиков. В интервью журналу The New Yorker в 2012 году он сказал: “Пока я был не на виду, у меня имелся выбор: либо поднять шумиху [по поводу нарушения этических норм], либо ничего не делать и позволить обращаться с собой как с послушной собачкой. Теперь, когда я стал настолько заметным, я не могу оставаться собачкой и молчать. Вот почему мне пришлось уйти”. Не совсем понятно, то ли Перельман навсегда ушел из математики, то ли работает себе спокойно над другими проблемами. Ясно одно: быть в центре внимания – не для него. “Меня не интересуют деньги и слава, – сказал он после присуждения ему награды Математического института Клэя. – Я не хочу находиться на всеобщем обозрении, как животное в зоопарке”. Так или иначе, решив наконец одну из самых важных и сложных задач топологии, он прочно занял свое место в истории.

Еще одна проблема, много лет не дававшая покоя топологам, – гипотеза триангуляции. И она тоже не так давно была разрешена – правда, в этом случае исходное предположение было опровергнуто. В ней, по сути, ставится вопрос: возможно ли любое геометрическое пространство разделить на более мелкие фрагменты? Гипотеза предполагает, что да. Сферу, например, можно без остатка разделить на треугольные “плитки”. Правильный икосаэдр, или многогранник с двадцатью гранями в форме правильных треугольников, – вот грубое приближение сферы, однако его можно бесконечно улучшать, увеличивая число граней и меняя форму треугольников. Точно так же “триангулируется”, то есть разбивается на треугольники, и тор. Трехмерное пространство можно “нарезать” на произвольное количество тетраэдров. Но возможно ли триангулировать геометрические объекты во всех пространствах более высокой размерности, разбивая их на имеющиеся там аналоги треугольника? В 2013 году румынскому математику, тогда профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Чиприану Манолеску удалось доказать, что это невозможно. Манолеску, вундеркинд и единственный человек, кому удалось три раза подряд набрать максимальное количество баллов на Международной математической олимпиаде, впервые столкнулся с проблемой триангуляции, будучи аспирантом в Гарварде в начале 2000-х годов. В то время он не решился заняться “неприступной задачей”, но годы спустя понял, что та самая теория, о которой он писал в своей кандидатской диссертации (посвященной так называемым гомологиям Флоера), – ключ к решению проблемы. Воспользовавшись результатами своих более ранних исследований, он сумел доказать, что в размерностях 5 и выше существуют многообразия, для которых триангуляция невозможна, – опровергнув тем самым гипотезу триангуляции. Это очень серьезное достижение, учитывая, что с использованием иных методов анализ даже четырехмерного пространства на возможность триангуляции – задача чересчур сложная.