Есть идея! - [29]
Вскоре просыпается другой товарищ по несчастью и проделывает то же самое: раскладывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает оставшийся орех обезьяне и, спрятав свою долю, укладывается снова спать. Затем по очереди просыпается третий, четвертый и пятый невольный обитатель острова, и каждый делает то же, что и первые два. Утром вся пятерка делит оставшиеся орехи на 5 равных частей. На этот раз ни одного лишнего ореха не остается.
Сколько кокосовых орехов было собрано первоначально?
Задача допускает бесконечно много решений. Наименьшее из них — 3121 орех. Решить задачу не очень просто.
Коль скоро мы заговорили о кокосовых орехах, я хочу предложить вам одну задачу, которую можно решить сразу. При расчистке джунглей было собрано 25 кокосовых орехов, обезьяна стащила все орехи, кроме 7, Сколько орехов осталось? Ответ: не 18.
Лохнесское чудовище
Боб. Лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины. Чему равна его длина?
Элен. Дай подумать. Двадцать и половина от двадцати — итого тридцать. Значит, лохнесское чудовище имеет в длину 30 м.
Боб. Не узнаю тебя, Элен! Твой ответ противоречит условию задачи, а ты этого не замечаешь. Как может лохнесское чудовище иметь в длину и 20 м и 30 м одновременно?
Элен. Ты прав, я ошиблась. Условие задачи означает, что длина лохнесского чудовища равна сумме 20 м и половины его длины. Теперь мне все стало ясно.
Чему, по-вашему, равна длина лохнесского чудовища?
По словам Боба, лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины, то есть длина чудовища равна сумме 2 слагаемых: 20 м и половины длины чудовища. Разделите мысленно длину чудовища пополам. Если вся длина равна сумме 2 слагаемых, из которых одно равно половине длины, а другое 20 м, то на 20 м приходится другая половина длины. Следовательно, полная длина составляет 40 м.
Задача Боба допускает простое алгебраическое решение: если x — полная длина лохнесского чудовища, то
x = 20 + x/2.
Теперь вы убедились, что задача, предложенная Бобом, до смешного проста. Интересно, как быстро вам удастся справиться со следующим ее вариантом. Кирпич на одной чаше весов уравновешен на другой чаше ¾ кирпича и гирей в ¾ кг. Чему равна масса кирпича?
Задача о лохнесском чудовище показывает, как важно точно понять, что именно спрашивается, прежде чем пытаться ответить на вопрос. Если первая интерпретация задачи приводит к противоречию, то либо на вопрос невозможно ответить, либо вы неправильно поняли постановку задачи.
Один лишний
Однажды, гуляя по парку. Боб и Элен увидели школьный духовой оркестр, готовящийся к параду.
Оркестр был выстроен в колонну по четыре, а один парнишка, несчастный Спиро, замыкал шествие, бредя вне строя. Одинокая фигура, маячившая сзади, по мнению дирижера, портила общее впечатление от оркестра.
Чтобы избавиться от нее, дирижер приказал музыкантам перестроиться в колонну по три, но несчастный Спиро опять остался единственным замыкающим.
Даже когда музыканты разбились на пары, Спиро все равно остался без партнера.
Хотя это было не ее дело, Элен подошла к дирижеру.
Элен. Позвольте мне дать вам один совет?
Дирижер. Мне сейчас не до вас, милая девушка! И без того голова идет кругом.
Элен. Хоть вы и не очень вежливы, я все равно скажу вам, что нужно делать. Перестройте музыкантов в колонну по пять!
Боб. Я как раз собирался предложить то же самое!
Когда оркестр перестроили в колонну по пять, все шеренги оказались заполнены.
Сколько музыкантов было в оркестре?
Элен просто пересчитала всех музыкантов в оркестре и обнаружила, что число их кратно 5. Но как можете вы, не видя всего оркестра, определить, сколько в нем музыкантов?
Сделать это можно следующим образом. Пусть N — число музыкантов в оркестре. Мы знаем, что при делении на 2, 3 и 4 оно дает остаток 1 (живым воплощением остатка служит Спиро, в одиночестве марширующий вслед за оркестром). Наименьшее число, обладающее этим свойством, на 1 больше наименьшего общего кратного (НОК) чисел 2, 3 и 4, то есть числа 12. Рассмотрим теперь все числа, кратные 12. Увеличив любое из них на 1, мы получим число, которое при делении на 2, 3 и 4 дает остаток 1.
Когда оркестр перестраивается в колонну по 5, то остаток равен 0. Следовательно, N делится на б без остатка. Решением задачи служат числа, кратные б, которые встречаются в последовательности
13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, …
Поскольку число 145 слишком велико для школьного оркестра, то N равно либо 85, либо 25. Имеющаяся у нас информация не позволяет отдать предпочтение какому-нибудь из этих двух чисел.
Хорошим вариантом предыдущей задачи может служить следующая задача. При перестроениях оркестра в колонну по два, три и четыре в последней шеренге каждый раз недостает одного человека, а при построении в колонну по пять все шеренги оказываются заполненными. Сколько музыкантов в оркестре? На этот раз мы должны выписать последовательность чисел, которые на 1 меньше кратных двенадцати и делятся на 5 без остатка: 35, 95, 155, …
Следующий, более трудный вариант задачи принадлежит известному американскому мастеру головоломок Сэму Лойду. По традиции в день св. Патрика члены ирландской общины проводят в Нью-Йорке торжественное шествие. В тот год, о котором рассказывается в новелле Сэма Лойда, Великий маршал ордена св. Патрика безуспешно пытался выстроить участников шествия в колонну по 10, 9, 8, 7, б, 5, 4, 3 и 2 человека, но каждый раз в последней шеренге недоставало одного человека. Суеверные участники шествия решили даже, что среди них незримо витает дух скончавшегося незадолго до дня св. Патрика хромого Кейси, без которого не обходилось ни одно шествие. Вконец отчаявшись, Великий маршал приказал участникам шествия построиться в колонну по одному. Сколько людей приняло участие в шествии, если ирландская община в Нью-Йорке насчитывала в ту пору не более 7000 человек? Задача Сэма Лойда — прекрасный пример на нахождение НОК нескольких чисел. НОК чисел 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 и 2 равно 2520. Вычтя из этого числа скончавшегося от пневмонии хромого Кейси, мы узнаем, что в шествии приняло участие 2519 человек.
