Есть идея! - [20]
Ясно, что задача о перестановке шахматных коней на этом графе изоморфна исходной задаче, но решается несравненно легче. Удастся ли вам найти минимальное решение в 18 ходов?
Метод нитей и пуговиц позволяет проанализировать одну старинную игру. Для нее нам понадобится особая «доска» — звездчатый граф, изображенный на рис. 8, и семь монет или небольших фишек.
Игра состоит в следующем. Положив монету на любую вершину графа, вы можете сдвинуть ее вдоль черной ломаной линии (ребер графа) в любую другую вершину. После того как ход закончен, прикасаться к монете и перемещать ее в другую вершину запрещается.
Затем вы кладете вторую монету на любую незанятую вершину графа и передвигаете ее вдоль ребер в любую другую незанятую вершину. Так вы продолжаете действовать до тех пор, пока все семь монет не займут свое место на вершинах графа.
Очень скоро вы обнаружите, что расставить все семь монет удается, если действовать по тщательно продуманному плану: малейшая небрежность приводит к позиции, не позволяющей достичь в игре успеха. Не могли бы вы указать, каких правил следует придерживаться при расстановке и перемещении монет, чтобы вам неизменно сопутствовал успех?
Звездчатый граф можно полностью «раскрыть» подобно графам в двух первых задачах о перестановке шахматных коней, его удается развернуть в окружность. После того как это сделано, семь монет нетрудно расположить на окружности и проанализировать, как они могут двигаться. Справиться с этой задачей можно многими способами. Одна из наиболее простых выигрышных стратегий состоит в том, чтобы делать любой ход первой монетой, а все следующие монеты ставить и передвигать всегда так, чтобы по окончании хода они заняли вершину, которую занимала в исходном положении предыдущая монета.
Предложите сыграть в эту игру своим друзьям. Лишь очень немногие из них смогут расставить все семь монет, даже если вы один раз быстро продемонстрируете им, как следует играть.
Невиданный меч
Присмотритесь повнимательнее к этой картинке. Что художник нарисовал неправильно?
Взгляните на меч в руке рыцаря: его невозможно вложить в ножны.
Эти два меча (если только они не имеют утолщений) можно вложить в ножны соответствующей формы. Можете ли вы придумать еще какую-нибудь форму для меча и парных ему ножен?
Вам пришла в голову мысль перейти от плоских кривых к пространственным? Оказывается, помимо двух традиционных форм мечей, вкладывающихся в ножны, тем же свойством обладают только мечи, выкованные в форме винтовой линии.
Винтовая линия играет важную роль в современной науке, — особенно в биологии и физике элементарных частиц. Молекулы ДНК имеют форму винтовой линии. В отличие от своих одно- и двумерных двоюродных сестер — прямых и окружностей — винтовая линия обладает «закрученностью», то есть может быть правой и левой. Прямая и окружность неотличимы от своих зеркальных отражений, но отличить винтовую линию от ее зеркального отражения не составляет ни малейшего труда. В зеркале винтовая линия, по выражению Алисы из Зазеркалья (Льюис Кэрролл), «идет наоборот».
Существует множество примеров винтовых линий в природе и в повседневной жизни. Винтовая линия по традиции считается правой, если она закручивается по часовой стрелке по мере удаления от вас. Винты, болты и гайки, как правило, имеют правую нарезку. Винтовые лестницы, стебли сахарного тростника, пружины, волокна в канатах и кабелях и стружки могут закручиваться как вправо, так и влево.
К числу примеров встречающихся в природе винтовых линий относятся рога многих животных, раковины морских моллюсков, гигантский зуб нарвала, ушная раковина человека, пуповина. В мире растений винтовая линия встречается в строении стеблей, побегов, усиков, семян, цветов, шишек, листьев и т. д. Взбираясь на вершину дерева или спускаясь с нее, белка описывает винтовую линию. Вылетая из пещеры, летучие мыши также движутся по винтовым линиям. Винтовые линии, навитые на конус, можно без труда обнаружить в таких атмосферных явлениях, как вихри или смерчи. Вода, стекая в раковине, также закручивается в воронку, сотканную из винтовых линий. Много других примеров винтовых линий вы найдете в книге М. Гарднера «Этот правый, левый мир»[3].
Правильная винтовая линия — это кривая, навитая на круговой цилиндр под постоянным углом к образующим (напомним, что образующими называются прямые на поверхности цилиндра, параллельные его оси). Пусть ϑ — угол, под которым винтовая линия пересекает образующие цилиндра. При ϑ = 0° винтовая линия, как нетрудно видеть, вырождается в прямую, а при ϑ = 90° — в окружность.
Аналитически в этом можно удостовериться, если записать параметрические уравнения винтовой линии и проварьировать входящий в них угол ϑ от 0° до 90°. И прямая, и окружность — предельные формы более общей пространственной кривой, получившей название винтовой линии. Правильная винтовая линия — единственная пространственная кривая постоянной кривизны. Этим и объясняется, почему мечи, вкладывающиеся в ножны, можно изготовить только в форме правильной винтовой линии (что выглядело бы несколько необычно) и двух ее предельных случаев — прямой и окружности.
