До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [23]
ƒ(x + yi) = u (х,у) + iv (х,у)
и что u и v можно продифференцировать как функции двух переменных в действительной области R. Следовательно, их частные производные удовлетворяют условиям
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂x = ∂v/∂x
И наоборот, если u и v можно продифференцировать как действительные функции и при этом выполняются предыдущие равенства для производных, то ƒ — дифференцируемая функция и ƒ = u + iv.
Эти уравнения встречаются уже на первых страницах современного учебника по комплексному анализу и знакомы всем студентам, изучающим физику и инженерное дело.
Эйлер нашел время для изучения вопросов статистики и вероятностей. И хотя его исследования в этой области были не слишком обширны, о них стоит упомянуть. Иногда ученый говорил об этих работах в переписке с королем Фридрихом II. Некоторые изыскания ученого касаются азартных игр и пари — в то время эта область считалась научной. Действительно, в них часто решались задачи, впоследствии приобретавшие большое научное значение. Как и другие выдающиеся математики, например Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) или Пьер-Симон Лаплас, Эйлер изучал карточную игру treize (413"), известную также под названием "встреча" (или "совпадения"). Затем он углубился в лотереи, возникшие как раз в это время, и в страхование жизни, а также в статистику жизни и смерти. Пенсия и ежегодные взносы, которые необходимо выплачивать для ее получения, высчитываются на основе этой статистики, поскольку их объем зависит от большей или меньшей вероятности смерти человека.
Эйлер написал принцессе Ангальт-Дессау, племяннице Фридриха, более 200 писем. В 1768 году они были собраны в один том под названием Lettres è une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie ("Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях·). И даже в таком, казалось бы, легком жанре Эйлеру удалось удивить современников. В некоторых письмах (102-105) он рассуждает о силлогизмах и, чтобы лучше объяснить свою мысль, прибегает к диаграммам, как на рисунках 1 и 2.
РИС. 1
РИС . 2
Они напоминают диаграммы Джона Венна (1834-1923), хотя отличаются по смыслу. То, что Венн изобразил бы в виде диаграммы на рисунке 3, для Эйлера было бы рисунком 4. Венн изображал фрагмент диаграммы, даже если он был пустым, в то время как Эйлер, не думавший об общей картине, не считал это возможным. Венн называл свои диаграммы не диаграммами Венна, как их обозначают сегодня, а диаграммами Эйлера, так что не требуется уточнять, кто был источником его вдохновения.
РИС.3
РИС. 4
Ученый также занимался теорией ошибок, которая, однако, стала полноценной теорией только после создания Гауссом метода наименьших квадратов. Необходимо помнить, что в то время погрешности в измерениях подсчитывались путем вывода их среднего арифметического. Положительные и отрицательные величины среди отклонений компенсировали друг друга, следовательно, невозможно было понять природу каждой отдельной ошибки и исправить ее.
В Пруссии Эйлер написал несколько работ, которые можно называть второстепенными, если сравнивать их с другими фундаментальными трудами из его обширного наследия. В 1744 году вышла книга о траектории планет и комет, Theoria motuum planetarum et cometarum ("Теория движения планет и комет"), а в 1746 году — трактат по оптике, в котором говорится о свете и цветах,— Nova theoria lucis et colorum ("Новая теория света и цветов"). Вслед за Христианом Гюйгенсом (1629-1695) Эйлер склонялся к волновой гипотезе, превалировавшей над корпускулярной вплоть до создания квантовой механики. В 1745 году был опубликован сделанный Эйлером перевод на немецкий язык книги New Principles of Gunnery ("Новые принципы артиллерийского искусства") Бенджамина Роббинса (1707-1751). Ученый сделал такое количество комментариев, исправлений и дополнений, что фактически написал книгу заново.
В 1765 году, когда Эйлер уже переезжал в Россию, в печать отправилась Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ( "Теория движения твердых тел") — второй трактат по механике. Он стал улучшенным вариантом первого (в котором методы математического анализа впервые применялись в механике), поскольку в нем появились уравнения, впоследствии названные дифференциальными уравнениями движения твердого тела, подверженного действию внешних сил, и углы Эйлера, связанные с использованием систем координат, одна из которых неподвижна, а вторая привязана к движущемуся телу так, что его движение оказывается разложено на линейное и вращательное. Все специалисты подчеркивают оригинальность некоторых исследований, например изучения оси вращения обычной юлы, которое подводит к понятию нутации и прецессии равноденствий.
Мы уже говорили, что еще одной страстью Эйлера была картография. В течение нескольких лет ученый принимал участие в создании атласа России. В результате он был напечатан в 1745 году и состоял из 20 карт. Эйлер очень гордился этим достижением и утверждал, что благодаря этому атласу российская картография обогнала немецкую.
