До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [21]
(1713-1784) он опубликовал перевод с английского "Циклопедии" Эфраима Чемберса, которая легла в основу Enciclopedie: она была дополнена 1700 статьями по математике, философии, литературе, музыке, а также знаменитым вступительным словом Discours priliminaire (1751). Д’Аламбер был принят в Берлинскую академию наук, Лондонское королевское общество, Парижскую академию наук, Французскую академию. Д’Аламбер привел первое доказательство (ошибочное и впоследствии исправленное Гауссом) основной теоремы алгебры: "Всякий вещественный многочлен степени n имеет n комплексных корней". Он также нашел превосходный признак сходимости рядов, в теоретической физике разработал так называемый оператор Д’Аламбера, а в теории вероятностей известен своим мартингалом Д’Аламбера. Параллельно с Эйлером он разработал способы улучшения астрономических линз.
Пока Эйлер жил в Берлине, он иногда отправлял статьи в Петербургскую академию, особенно если они касались тем, являющихся продолжением работ, в прошлом опубликованных в России. В 1763 году Эйлер представил Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum ("Легкое решение очень трудной геометрической задачи") — чисто геометрическое и довольно сложное сочинение в духе Евклида. Оно было опубликовано в 1767 году, когда ученый уже вернулся в Санкт- Петербург. В нем он впервые доказал, что в любом неравностороннем треугольнике ортоцентр (О — точка треугольника, в которой пересекаются три его высоты), центр описанной окружности (С — точка треугольника, в которой пересекаются три его срединных перпендикуляра) и барицентр, который также называют центроидом (В — точка, где пересекаются три медианы
треугольника), располагаются на одной прямой, впоследствии названной прямой Эйлера. Если треугольник равнобедренный, то на этой линии находится еще и инцентр (точка пересечения трех биссектрис). О центре окружности Эйлера ( мы поговорим ниже.
Помимо того что обнаружилось расположение на одной прямой точек О, В и С, удалось получить точное соотношение:
2d(B,C) = d(B,0).
Как видите, расстояние между барицентром и ортоцентром всегда в два раза больше расстояния между барицентром и центром описанной окружности (рисунок 11). И хотя, как мы уже сказали, инцентр располагается на той же прямой только в равнобедренном треугольнике, Эйлер нашел формулу, по которой можно рассчитать расстояние между инцентром и центром описанной окружности:
d>2 = R(R-2r),
где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
РИС. 11
РИС. 12
Крыша олимпийского стадиона в Монако занимает наименьшую площадь, рассчитанную с помощью вариационного исчислении.
В 1750 году Эйлер обнародовал мегаскоп — прибор дли проецировании непрозрачных тел. Он состоил из двух вогнутых зеркал и двух ламп.
Марка, изображающей теорему для многогранников — одно из высочайших достижений Эйлера.
Центром треугольника называется точка Р, которая обладает особым геометрическим свойством по отношению к определенным линиям (высотам, медианам, биссектрисам и так далее) и определяет окружности или другие простые фигуры, обладающие некоторыми свойствами, связанными с исходным треугольником. Это очень туманное определение, но к нему можно добавить условие: точка Р должна быть инвариантом по отношению к симметриям, вращениям и расширениям. Примерами таких центров являются ставшие уже классическими ортоцентр, центр описанной окружности и инцентр, но существуют и другие. Статья Эйлера о центрах треугольника вызывала удивление у геометров (они полагали, что об особых точках этой фигуры уже сказано все), однако в последующие годы было открыто много других центров. Сегодня существуют сайты, посвященные их перечислению и изучению: например, Encyclopedia of Triangle Centers Кларка Кимберлин- га насчитывает более 3500 точек.
Через несколько лет после этого Карл Вильгельм Фейербах (1800-1834) и Олри Теркем (1782-1862) нашли окружность с центром СE, известную сегодня как окружность Эйлера. Она проходит через девять точек: через середины всех сторон треугольника, через основания всех его высот и, наконец, через срединную точку отрезка, идущего от каждой вершины к ортоцентру (рисунок 12). Существует еще одно соотношение, касающееся этих расстояний:
d (СЕ,O) = d (СЕ,С).
Некоторые из его простейших открытий таковы, что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: "Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?"
Гарольд Коксетер об Эйлере
Как легко догадаться, центры треугольников были не единственным геометрическим интересом Эйлера. Мы могли бы перечислить множество других занимавших его вопросов, но среди них есть один, который отличается своей сложностью, прямо пропорциональной простоте формулировки. В 1751 году Эйлер в письме Гольдбаху предложил следующую задачу: найти для любого выпуклого многоугольника с п сторонами, сколькими способами можно разделить его на треугольника при помощи диагоналей, которые не должны пересекаться, и считая по отдельности разные углы. Эйлер спрашивал, сколько поперечных разрезов надо сделать в "торте" многоугольника, как видно на рисунке. Это сложная задача на комбинаторику, и ее решение — С
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.
Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики, начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными, поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определенной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и связанным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.
Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.