До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [20]

РИС. 8

РИС. 10

Впоследствии Ферма сформулировал закон о преломлении света (так называемый закон Снеллиуса), по которому n₁, sinθ₁ = n₂ sinθ₂ Однако в этом случае пройденное расстояние не было минимальным. Минимальным было время, за которое луч проходит от A до B, а расстояние на самом деле было, как мы сказали бы сегодня, функцией времени: e = v · t, где v — скорость луча света в преломляющей его среде. Таким образом, минимизируется функция ƒ(t) · vt (рисунки 8-9).

ПЬЕР ДЕ МОПЕРТЮИ

Хотя семья Пьера де Мопертюи (1698- 1759) сделала состояние, промышляя пиратством — его отец был корсаром, получившим дворянский титул, — и у Пьера была возможность сделать военную карьеру, он выбрал науку и стал выдающимся математиком, физиком, естествоиспытателем и астрономом. Мопертюи был последователем Ньютона. Приняв участие в экспедиции в далекую Лапландию, чтобы собрать данные о длине земного меридиана, он пришел к выводу, что Земля сплюснута у полюсов, и подтвердил таким образом теорию своего учителя. Мопертюи также первым сформулировал принцип наименьшего действия. Правда, некоторые историки ставили его первенство под вопрос, поскольку считали, что Эйлер узнал об этом принципе раньше и уже использовал его. В отношениях между Мопертюи, одной из главных фигур Прусской академии, и Эйлером были периоды большой напряженности. Согласно некоторым источникам, Мопертюи так писал о швейцарском ученом: "Эйлер... в общем чрезвычайно странный персонаж... это неутомимый и надоедливый человек, который любит вмешиваться во все дела, хотя структура Академии и распоряжения нашего короля запрещают подобные вмешательства".

Вышеуказанная вариация есть не что иное, как инструмент вычисления. Если у(х) — это кривая, которая, проходя через (a, y(a)) и (b, y(b)), отвечает необходимым требованиям, то вариация кривой будет небольшим изменением, что обозначается знаком 8 перед ней (рисунок 10). В 1744-1746 годах Мопертюи сформулировал свой принцип наименьшего действия, который можно сформулировать как "природа экономит свои усилия", поскольку "осуществляет их", выполняя наименьшее из возможных действий. Действие — величина, которую можно определить. Она может быть представлена (хоть это и не единственный способ) как сумма задействованных сил, умноженная на пройденный путь, и именно он должен быть минимальным.

Эйлер изложил свою версию принципа в 1744 году в статье "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле", которую историки обычно называют по первому слову в оригинальном латинском заголовке, Methodus. Именно она положила начало современному вариационному исчислению.

Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего Творца, во всем мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума.

Эйлер

В 1755 году математик итальянского происхождения Жозеф Луи Лагранж, которому было всего 19 лет, написал Эйлеру длинное письмо, в котором содержалось решение одной задачи с помощью усовершенствованной системы вариационного исчисления. В 1772 году Лагранж с благословения Эйлера, признавшего важность его работы, опубликовал свой метод.

Выражаясь современным языком, вариационное исчисление состоит в приведении в действие принципа наименьшего действия с аналитической точки зрения. Вначале запишем так называемый лагранжиан системы, обозначив его L, причем L = С - Р, то есть разнице между кинетической энергией С и потенциальной энергией Р. Лагранжиан — это функционал, функция от функций. Если ограничиться самым банальным случаем, в котором есть только путь, то есть функция x(t) времени, то лагранжиан будет иметь вид L(x,x',t), где ньютоновским знаком х' обозначается производная от х. Интеграл действия принимает вид:

S = ∫_t0^t1L(x,x',t)dt

и именно его необходимо минимизировать (а в некоторых случаях максимизировать). И Эйлер, и Лагранж, хотя и разными путями, пришли к дифференциальным уравнениям (обычно их бывает несколько) вида

d/dt ∂L/∂x' = ∂K/∂x.

Сегодня их называют уравнениями Эйлера — Лагранжа, и задача сводится к их решению. Уравнения Эйлера — Лагранжа встречаются в учебниках по анализу и в относительно простых условиях трансформируют интеграл действия в частные производные. Они являются центральным элементом вариационного исчисления. В приложении 4 мы приводим их формальный вывод.

Д’АЛАМБЕР И ЕГО ПРИНЦИП

В 1743 году Д’Аламбер (1717-1783) в своем Тгайё de dynamique ("Трактат о динамике") сформулировал принцип аналитической механики, который носит его имя. Согласно этому принципу, в динамической системе сумма виртуальных работ заданных сил и даламберовых сил равна нулю. Такая формулировка позволяет подойти к принципу наименьшего действия или наименьшего усилия и отсылает к Эйлеру, поскольку ведет к уравнениям Эйлера — Лагранжа:

∂L/∂xa - d/dt ∂L/∂xa = 0.

Это фундаментальная формула классической механики, где L — лагранжиан, а хa — так называемые обобщенные координаты системы.

Мудрец своего времени

Д’Аламбер, один из просвещенных умов эпохи, был незаконнорожденным сыном офицера Детуша, который не признал его. Его имя происходит от названия церкви, на ступенях которой его оставили (Сен Жан-Ле-Рон), и от предполагаемого спутника Венеры (Аламбер). Вместе с Дени Дидро