До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [25]

Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):

е^ix = cosx + isinx,

и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:

е^х+iy = е^х (cosу + isiny).

Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:

ex = Σ_n=0^∞xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.

Если мы подставим вместо х число π, то, по формуле Эйлера, получим:

e^ix = cosπ + isinπ = -1 + i0 = -1,

а перенеся -1:

e^ix + 1 = 0.

Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.

В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:

a^logº^x = x.

а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением π, то есть 2kπ. В частности:

ln(-1) = iπ + 2kπ(k € Z),

что приводит нас к таким выражениям, как

iⁱ = e^ilni = e^(-π/2) ~ 0,2078795764.

В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,

который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +

+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...

≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,

показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

В таком виде кажется, что его сумма равна 0:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,

а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.

На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + ...

Подставив вместо х число -1, он пришел к

1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1)² + (-1)³ + (-1)⁴ + (-1)⁵ + ...

= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.

то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.

К арсеналу уже известных к тому времени рядов

Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим

π/(3√3) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...

π/(2√2) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...

π/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...

π²/(8√2) = 1 - 1/3² - 1/5² + 1/7² + 1/92 + ...

π²/(6√3) = 1 - 1/5² - 1/7² + 1/112 + 1/13² + ...

1 -1! + 2! -3! + ... = 0,596347362123...

Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:

arxtgz = z - z3/3 + z5/5 + z7/7 + ... ,

а вторым был первый ряд Фурье в истории, который Эйлер описал в 1744 году в письме Гольдбаху, то есть задолго до того, как Жозеф Фурье (1768-1830) начал свои знаменитые исследования. И даже до того, как Фурье родился.

1/2x = sinx - 1/2 sin 2х + 1/3 sin Зx - ...

Вклад Эйлера в теорию чисел огромен, и его подробное изложение не является целью этой книги. Достаточно сказать, что только Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851) и Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887-1920) могут сравниться с ним по значению своих работ в этой области. Еще одним важным разделом математики, интересовавшим Эйлера, были дифференциальные уравнения. Здесь его самым знаменитым открытием, возможно, является метод Эйлера, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения первого порядка.