До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [12]
Существуют три математические константы, которые резко выделяются на общем фоне и так или иначе связаны с Эйлером. Первая — это знаменитое число я, вторая — е. Третья обозначается греческой буквой у, и хотя Эйлер выделил ее уже в 1734 году, через три года после нахождения числа е, он делит это открытие с итальянским математиком Лоренцо Маскерони, так что у называют постоянной Эйлера —Маскерони. По мнению некоторых специалистов, это не совсем справедливо, поскольку самая большая заслуга Маскерони состояла в том, что в 1790 году он вычислил 32 ее знака, сделав при этом три ошибки: в 19-м, 20-м и 21-м знаках.
γ — сугубо арифметическая константа. Если мы рассмотрим древний гармонический ряд
Σ>n=1>∞1/n = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/n + ...,
то увидим, что он расходится, то есть предел его суммы стремится к ∞ (первое строгое доказательство этого приписывается Якобу Бернулли).
Эйлеру пришла в голову мысль сравнить возрастание этого расходящегося ряда с In n. Если провести вычитание
Σ>n=1>∞1/k = ln(n)
шаг за шагом, мы получим:
1 - ln1 = 1
1 + 1/2 - ln2 = 0,8068528...
1 + 1/2 + 1/3 - ln3 = 0,734721...
1 + 1/2 + 1/3 + 184 - In4 = 0,6970389...
Эта разность стабилизируется и в пределе дает постоянную величину:
γ = lim>n→∞[Σ>k=1>n1/k - ln n] = 0,57721566...
Целью Эйлера было найти способ описать степень роста гармонического ряда, и ученый пришел к заключению, что он логарифмический. Он обозначил эту постоянную заглавной буквой С, а знак греческой буквы γ, видимо, ввел Маскерони (1790). В 1736 году Эйлер высчитал 19 цифр этой постоянной, используя собственную формулу, так называемые числа Бернулли, Bn; если бы он попытался классическим путем сложить значения гармонического ряда и вычесть логарифм, то потерпел бы поражение, даже несмотря на то что был гением в вычислениях: ряд сходится слишком медленно.
Немецкий ученый Вейерштрасс открыл, что определение Г(х), предложенное Эйлером, дает производную
Г’(1) = -γ,
что позволяет установить неожиданную связь между гамма- функцией и постоянной Эйлера — Маскерони.
О константе γ почти ничего неизвестно, мы даже не знаем, рациональное это число или иррациональное и, разумеется, трансцендентное ли оно. Нам известно только, что если оно окажется рациональным — а большинство специалистов в это не верят, — то его знаменатель будет состоять из 244 663 цифр десятичной системы исчисления. Если воспроизвести это число, оно займет почти всю эту книгу.
Постоянная γ часто используется в анализе (например, в так называемых функциях Бесселя), а также в квантовой механике, особенно в перенормировке диаграмм Фейнмана, имеющих фундаментальное значение в электродинамике.
Однако не нужно далеко ходить, чтобы обнаружить γ. Если мы начнем собирать наклейки, прилагающиеся к жвачкам или шоколадкам, то наше хобби будет совершенно эйлеровским. Если в коллекции всего n наклеек, нам придется купить примерно N товаров, чтобы собрать их все:
N = n(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n).
Первым призванием Лоренцо Маске- рони, итальянского священника и математика (1750-1800), была поэзия.
Он не был горячим сторонником ни одной из существовавших тогда политических партий, но в общем его можно было охарактеризовать как франкофила. Поэтому в 1797 году его назначили депутатом в Милане, а затем отправили в Париж для разработки новой десятичной метрической системы вместе с Лежандром. Маске- рони больше не смог вернуться в Милан, оккупированный австрийскими войсками, и умер на следующий год.
В 1797 году он опубликовал свой шедевр в стихах — "Геометрия циркуля", — посвященный его другу Наполеону, который тоже увлекался математикой, о чем свидетельствует теорема, названная его именем.
В этой работе Маскерони доказал, что строгое требование древних греков делать геометрические построения только с помощью линейки и циркуля не такое уж обязательное: достаточно одного циркуля. Этот тезис, сегодня кажущийся нам очевидным, был удивительным для того времени. Первым это открытие сделал и опубликовал в Euclides Danicus ("Датский Евклид") в 1672 году датский ученый Георг Мор (1640-1697), но Маскерони об этом не знал. Свое право на бессмертие в математике Маскерони завоевал с помощью Эйлера своей книгой Adnotationes ad calculum integrate Euleri ("Заметки к интегральному исчислению Эйлера"), в которой нет существенных открытий, но содержится знаменитая постоянная γ. С этого момента у стала называться постоянной Эйлера — Маскерони.
В книге Маскерони содержится знаменитая задача Наполеона (считается, что сам Наполеон предложил ее математику). Она состоит в том, чтобы в данной окружности определить вершины квадрата, используя только циркуль.
Если мы попробуем решить эту задачу простым сложением, а наклеек достаточно много, то на это уйдет слишком много времени, и ошибок не избежать, даже используя калькулятор. Лучше применить способ Эйлера и сложить только два слагаемых:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = γ + ln n.
Постоянная у встречается гораздо реже, чем я или е. Несложно найти формулу, которая связывает все три постоянные:
