До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [10]

Шрифт
Интервал

На сегодняшний день не найдено ни одного другого простого числа Ферма. Все новые, что нам известны,— это составные числа. Было доказано, что начиная с F>5 до F>32 — а это огромное количество — нет ни одного простого числа. Но это не означает, что они никогда не будут обнаружены. Вопрос об их существовании — всего лишь гипотеза, а в математике гипотезы считаются верными или ложными, только если находится их доказательство или опровержение.


КРЕЩЕНИЕ ЧИСЛА

Параллельно с работой над числами Ферма и все так же в рамках обширной переписки с Гольдбахом Эйлер дал имя математической константе, которая, как мы уже говорили в предыдущей главе, впоследствии стала основой его исследований по теории чисел: это постоянная е. Впервые она появилась под таким обозначением в одном из писем 1731 года. Вне всяких сомнений, это самая известная постоянная после л. Ее приблизительное значение следующее:

е=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Сегодня известно более триллиона знаков е после запятой. Хотя Эйлер дал постоянной имя и использовал ее в самых разных областях, он не был ее первооткрывателем в строгом смысле этого слова: е появилась гораздо раньше, но под другим именем и "в тайне", как мы увидим ниже.

Число е родом из области логарифмов, как подчеркивал Эйлер. Эта связь, которую мы подробнее рассмотрим в приложении 1, ускользала от математиков на протяжении века. В защиту современников Эйлера можно сказать, что постоянная е с течением времени зарекомендовала себя как особенно неуловимая.

Одним из первых к ней приблизился Грегуар де Сен- Венсан (1584-1667), который в 1647 году обнаружил равностороннюю гиперболу, соответствующую уравнению у - 1/x, ее график в декартовой системе координат изображен на этой странице. Сен-Венсан вычислил площадь между 1 и любой другой точкой t на горизонтальной оси говоря современным языком, это площадь криволинейной трапеции между 1 и t.


Таким образом, получается, что

>1>t(1/x)dx = lnt,

и при t = е мы имеем Int - Ine = 1. Следовательно, e равно значению на горизонтальной оси X, для которого площадь, указанная на графике, равна 1. Это определение впоследствии дал ей сам Эйлер, Сен-Венсан же так и не пришел к нему.

Христиан Гюйгенс (1629-1695) тоже не обратил на число е большого внимания, хотя в одном из рассуждений ему пришлось вычислить 17 знаков его десятичного логарифма. Но поскольку он был сконцентрирован на другом вопросе, то также проигнорировал число е.

Не прошел мимо него Якоб Бернулли, хотя он приблизился к е не через логарифмы, а следуя другому, более "земному" пути. В 1683 году Бернулли начал изучать сложные проценты по вкладу капитала. Мы можем проследить за его шагами, используя современную терминологию. Если мы делаем вклад, равный С, под годовой процент i, то в конце года сумма будет равна

C+Ci-C(1 + i).

Если бы проценты подсчитывались два раза в год, а не один, то надо было бы разделить их на 2 и начислять деньги дважды. За один год сумма капитала и процентов стала бы равна

C + Ci/2 + (C + Ci/2)i/2 = C(C + i/2) + C(1 + i/2)i/2 =

= C(1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2)>2

Если повторить эту операцию n раз, то, следуя этой модели, капитал будет равен

C(1 + i/n)>n.

При бесконечном повторении этой операции проценты будут начисляться каждое мгновение, и, используя современное понятие предела (независимо от величины i она не имеет значения в данной задаче), мы пришли бы к пределу

lim>n→∞(1 + 1/n)>n.

При проверке предела необходимо установить, что он существует и что к его значению можно приблизиться при помощи простого вычисления.

n(1 + 1/n)>n
12
22,25
32,37037
42,44141
52,48832
102,59374
1002,70481
10002,71692
100002,71815
1000002,71827
10000002,71828

Якоб Бернулли без помощи современных вычислительных инструментов дошел до первых строк этой таблицы. Это поразительный результат для математики той эпохи. По его подсчетам, предел был бы между 2 и 3. Сегодня мы знаем, что

lim>n→∞(1 + 1/n)>n = e.

Так Якоб Бернулли одновременно нашел е — хотя и не он дал постоянной это имя — и впервые в истории сделал открытие, применив неизвестное до того времени понятие предела. К сожалению, и в этот раз постоянная е осталась без надлежащего признания, поскольку Якоб не связал ее с логарифмами. Число е обрело свое первое имя в 1690 году, когда Лейбниц обозначил его буквой b в письме Гюйгенсу. С этого момента переменная начала существовать. Ей наконец дали имя, хотя и не окончательное. Открытие связи постоянной с логарифмами было вопросом времени, и этот медленный процесс завершился, как мы уже сказали, в 1731 году, в письме Эйлера Гольдбаху.


ЧИСЛО И ШЛЯПЫ

Якоб Бернулли занялся константой е не только с целью решить задачу о процентных ставках. На ее изучение ученого подвиг ребус, а точнее задача о теории вероятностей и шляпах. Пьер Ремон де Монмор (1678-1719) и Якоб Бернулли столкнулись со следующей загадкой: на бал съехалось N гостей. Они сдали свои шляпы лакею. Для них были приготовлены специальные коробки с этикетками, чтобы не перепугать владельцев. Но в последний момент лакей, назначенный ответственным за шляпы, заболел, и его заменили другим, который, не зная приглашенных, положил шляпы в коробки как придется. Проблема возникает, когда гости разъезжаются и лакей отдает им шляпы. Некоторые получат свои, другие — нет. Какова вероятность того, что произойдет полная катастрофа и ни одна шляпа не будет возвращена своему законному владельцу? Ответ таков:


Еще от автора Хоакин Наварро
Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.


Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики, начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными, поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определенной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и связанным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.


Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.