До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [11]

Шрифт
Интервал

Pn = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)>N/N!

Эта величина очень похожа на сумму с пределом е. Действительно, ее пределом является 1/е. Если же гостей очень много, то есть N — большое число, то

P>N = 1/e = 36,79 %.


С этого момента, в частности в серии статей, написанных начиная с 1736 года, Эйлер официально называл ее постоянной. Он дал ей определение и связал предел Якоба Бернулли с логарифмами, которым он также дал современное определение. Эйлер принял е за основу натуральных логарифмов и таким образом обессмертил ее, вычислив первые 18 цифр — возможно, с помощью прямой суммы первых 20 членов ряда, который он же сам и обнаружил:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Если это так, то этот подвиг Эйлера можно считать невероятным, почти невозможным. Тем не менее ученый часто выказывал сверхчеловеческие вычислительные способности, и многие склонны верить, что он прибег именно к этому методу.

О том, почему Эйлер выбрал именно букву е, высказывалось множество версий. Несмотря на самые распространенные из них, здесь нет связи со словом "экспонента" на немецком языке или с первой буквой его собственного имени. Есть предположение, что изначально ученый хотел обозначить постоянную через а, но она уже была занята другой величиной в его вычислениях. В любом случае, Эйлер так и не объяснил причины своего выбора.

Большая часть сведений о е содержится в его шедевре "Введение в анализ бесконечных", написанном в Берлине и изданном в 1748 году. В нем Эйлер окончательно установил, что логарифм и возведение в степень являются обратными друг другу операциями, то есть

у - а>x тогда и только тогда, когда x-log>ay.

Эта формула истинна для любого основания а, в том числе для а = е. Есть еще один аспект, который относится к области анализа и возведению в степень с основанием е, — функция ƒ(x) = еx совпадает со своей производной:

de/dx = e>x.

Постоянная е — трансцендентное число, то есть его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами. Для доказательства трансцендентности какого-либо числа в первую очередь надо проверить его на иррациональность (число называется иррациональным, когда его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел). Это совсем не простая задача, и Эйлеру это не удалось. Тем не менее он подошел довольно близко к правильному решению, найдя следующую непрерывную дробь:


Получив доказательство того, что эта дробь бесконечна, он показал:

(е-1)/2

является иррациональным числом. Наконец, в 1873 году Шарль Эрмит (1822-1901) доказал трансцендентность числа е.

Помимо полученного Эйлером, часто встречаются и такие записи числа е в виде дроби:


В последнее время в области теории чисел наблюдается возрастание интереса к вопросу о нормальности постоянных. Является ли е нормальным числом? В этом случае "нормальность" означает, что цифры в записи числа е сохраняют статистическое равновесие: если взять произвольное число, или пару чисел, или тройку и так далее, то вероятность того, что они появятся в записи числа е, всегда одна и та же.

То есть существуют нормальные и анормальные постоянные, но е кажется нормальным числом. Так или иначе, это всего лишь гипотеза, которую до сих пор никому не удалось доказать.



Арки колледжа святой Терезы (вверху) архитектора Антонио Гауди в Барселоне и Арка в Сент- Луисе (в середине) — примеры перевернутой традиционной цепной линии, образованной подвесными тросами (внизу). Формула этой линии содержит число е.


МНЕМОНИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ С ЧИСЛОМ у

Существует математический вид спорта, который состоит в том, чтобы произнести наибольшее количество знаков после нуля какой-либо константы. Поскольку заучивать их, просто напрягая память, может быть скучно, для этого используются специальные фразы или стихи (mnemonics по-английски). Количество букв в каждом слове соответствует числовой последовательности, которую надо запомнить.

Например, название стихотворения "С десятью пушками по стороне" испанского поэта Хосе де Эспронседа можно соотнести с последовательностью 17727.

сдесятьюпушкамипостороне
34735

Это гораздо проще запомнить, чем само число, поскольку у слов есть смысл. Стало очень модно заучивать цифры числа к. Фразы для запоминания знаков числа е встречаются реже, но они тоже очень любопытны. В интернете можно найти такой вариант:

We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!

[>1 Мы представляем мнемоническое упражнение на запоминание такой восхитительной постоянной, что Эйлер воскликнул: '!', когда впервые открыл ее, да. громко воскликнул '!'. Мои студенты, возможно, вычислят е. используют свои силы или ряды Тэйлора, простую формулу сложения, ясную, четкую, элегантную! (В данном случае подсчет действителен только для фразы на английском. — Примеч. ред.)]

Знак"!"обозначает ноль. Если мы сосчитаем количество букв в словах, то получим следующую последовательность:

271828182845904523 536028 747135 266249 7757,

которая соответствует первым 40 цифрам числа е.


Еще от автора Хоакин Наварро
Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.


Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики, начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными, поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определенной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и связанным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.


Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.