До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [13]

Сам Эйлер тоже нашел взаимосвязи между у и дзета-функцией:

Существуют также формулы, связывающие напрямую ус простыми числами, как, например, формула Франца Мертенса (1840-1927):

где р — простые числа. Таким образом, в ней задействованы у, дзета- функция и простые числа. Нет сомнений, что третья постоянная Эйлера имеет большое значение, которое со временем будет только возрастать.

Логарифм можно вычислить на калькуляторе, а γ в данном случае можно округлить до 50 знаков:

0,57721566490153286060651209008240243104215933593992...

Можно привести еще один, более абстрактный пример: чтобы узнать, сколько делителей п в среднем есть между 1 и n, можно использовать выражение In n + 2γ - 1. Это приближение становится тем точнее, чем больше значение я и чем больше у него делителей.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА — МАКЛОРЕНА В ДЕТАЛЯХ

Формула Эйлера — Маклорена может произвести пугающее впечатление. Обычно она записывается так:

где В_k — числа Бернулли, a f^(x)— производные от f. Применение формулы состоит в том, что из правой части можно получить значения даже медленно сходящихся рядов. Эйлер использовал этот трюк в решении Базельской задачи, как мы увидим ниже.

СУММА, КОТОРАЯ СУММИРУЕТ НЕСУММИРУЕМОЕ

В 1735 году, во время своего первого российского периода, Эйлер сделал последнее из своих важных открытий в области анализа. Он вывел полезнейшую формулу, которая позволяет получать приблизительное значение интеграла, заменяя его на сумму, или приблизительное значение суммы, заменяя ее на интеграл. Независимо от Эйлера ее также открыл шотландский ученый Колин Маклорен. Так называемая формула Эйлера — Маклорена работает следующим образом: пусть дана функция f(x). Когда говорят о ее сумме, обычно имеют в виду две части, связанные между собой, но разные. Если использовать целые значения, то получится сумма

а когда ее складывают по всем х, получается интеграл:

i(n) = ∫₀ⁿƒ(x)dx.

Кажется очевидным, что между s(n) и i(n) существует связь, но первая является дискретной суммой, а вторая — непрерывной. Формула Эйлера — Маклорена во многих случаях позволяет перейти от одной к другой. Если мы знаем s(n), то можем получить значение i(n), а если знаем i(n), можем высчитать s(n).

БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА: НАЧАЛО

По приезду в Петербург Эйлер получал 300 рублей, которых хватало на оплату проживания, дров для камина и масла для ламп. После того как он сменил Даниила Бернулли на посту профессора математики в 1733 году, Академия подняла его жалованье до 600 рублей. В том же году эта сумма еще увеличилась: Эйлер начал давать частные уроки и по предложению барона фон Мюнниха работать председателем экзаменационной комиссии в местной кадетской школе. Стабильное финансовое положение, сложившееся благодаря его новым обязанностям, позволило Эйлеру жениться на Катерине Гзель, дочери Георга Гзеля, художника швейцарского происхождения, работавшего в Академии искусств по особому приглашению Петра I. Церемония бракосочетания прошла 27 декабря 1733 года, после чего молодожены переселились в деревянный дом, "превосходно обставленный", по словам самого Эйлера, на Васильевском острове, недалеко от Академии наук. Через год у них родился первенец, Иоганн Альбрехт. Его крестным отцом стал фон Корф, бывший в то время президентом Академии. Этот факт свидетельствует о большом уважении, с которым относились к Эйлеру, что неудивительно, учитывая его огромный вклад в науку. Но это было еще не все. Буквально год спустя, в 1735-м, Эйлер поразил математическое сообщество гениальным озарением: он нашел решение Базельской задачи.

В англосаксонских странах очень любят составлять рейтинги из десяти пунктов. Существует множество книг и телевизионных программ, посвященных десяти лучшим представителям в какой-либо области. В рамках этой традиции были созданы списки научных работ, классифицированные по изяществу, влиянию на повседневную жизнь или по интеллектуальной сложности. В числе прочих был сделан список лучших достижений Эйлера. В случае с другими учеными это часто невозможно, поскольку на такой список попросту не хватит материала, но с Эйлером такой опасности нет: его открытий будет достаточно и на более длинный список. Итак, что же стоит на первом месте? Это формула

π²/6 = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...

в которой содержится решение Базельской задачи. Ее происхождение неизвестно, но она вполне закономерна. Зная, что такое гармонический ряд, то есть ряд, соответствующий сумме членов, обратных числам

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

и зная, что он расходится, логично задаться вопросом о сумме обратных квадратов, которые кажутся сходящимися, однако к какому конкретному числу — неизвестно:

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = 1,644934.

Не существовало ни малейшей догадки по этому вопросу. Если попробовать сложить тысячи чисел из этого ряда, будет ясно: сумма приближается к определенному числу, но в то же время настолько медленно, что практически невозможно не округлить его до сотых. Считается, что впервые о Базельской задаче упомянул итальянский священник и математик Пьетро Менголи (1626-1686), а Эйлеру о ней рассказал Иоганн Бернулли. Уже в 1729 году ученый говорил о задаче в письме Гольдбаху. В 1730 году эта задача занимала мысли всех математиков и привлекала их так же, как впоследствии — Великая теорема Ферма. Эйлер приступил к ней с таким энтузиазмом, что нашел несколько вариантов решения. Все они необыкновенно изобретательны, а некоторые являются идеалом для специалистов по анализу, особенно решение, опубликованное в 1741 году, в котором используется техника интегрального исчисления. Классическое же решение эксперты называют "третьим": оно наиболее изящное с точки зрения неподготовленного читателя. Мы немного поговорим о нем в приложении 2.