Алгоритмы неформально. Инструкция для начинающих питонистов - [7]

Если предположить, что игрок стоит там, где в конечном итоге упадет мяч (в точке x = 2), то можно получить представление о том, как изменяется угол линии видимости мяча, построив график линии видимости на ранней фазе траектории мяча. Следующий фрагмент кода создает отрезок для графика, построенного в листинге 1.2; предполагается, что он выполняется в том же сеансе Python. Отрезок представляет линию между глазами игрока и мячом после того, как мяч пролетел 0,1 метра по горизонтали.

xs2 = [0.1,2]

ys2 = [ball_trajectory(0.1),0]

Эту линию видимости можно нанести на график вместе с другими линиями, чтобы увидеть, как угол продолжает расти на протяжении траектории мяча. Следующие строки кода добавляют другие отрезки на график, построенный в листинге 1.2. Отрезки представляют линию между глазами игрока и мячом для еще двух точек на пути мяча: точек, в которых мяч переместился на 0,1, 0,2 и 0,3 метра по горизонтали. После создания всех этих отрезков они наносятся на график одновременно.

xs3 = [0.2,2]

ys3 = [ball_trajectory(0.2),0]

xs4 = [0.3,2]

ys4 = [ball_trajectory(0.3),0]

plt.title('The Trajectory of a Thrown Ball - with Lines of Sight')

plt.xlabel('Horizontal Position of Ball')

plt.ylabel('Vertical Position of Ball')

plt.plot(xs,ys,xs2,ys2,xs3,ys3,xs4,ys4)

plt.show()

На полученном графике мы видим несколько линий видимости, которые образуют непрерывно увеличивающиеся углы с уровнем земли (рис. 1.2).

В процессе полета угол линии видимости игрока продолжает расти, и игрок вынужден закидывать голову назад, пока не поймает мяч. Обозначим угол между землей и линией видимости θ. Будем считать, что игрок стоит в точке падения мяча (x = 2). Вспомните из школьного курса геометрии, что тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данном случае тангенс θ равен отношению высоты мяча к его горизонтальному расстоянию от игрока. Следующий фрагмент Python наносит на график стороны, отношение которых определяет тангенс:

xs5 = [0.3,0.3]

ys5 = [0,ball_trajectory(0.3)]

xs6 = [0.3,2]

ys6 = [0,0]

plt.title('The Trajectory of a Thrown Ball - Tangent Calculation')

plt.xlabel('Horizontal Position of Ball')

plt.ylabel('Vertical Position of Ball')

plt.plot(xs,ys,xs4,ys4,xs5,ys5,xs6,ys6)

plt.text(0.31,ball_trajectory(0.3)/2,'A',fontsize = 16)

plt.text((0.3 + 2)/2,0.05,'B',fontsize = 16)

plt.show()

Рис. 1.2. Траектория гипотетического брошенного мяча с отрезками, представляющими линии видимости мяча

Полученный график изображен на рис. 1.3.

Тангенс вычисляется отношением длины стороны A к длине стороны B. Высота A вычисляется по формуле 10x – 5x2, а длина B — по формуле 2 – x. Таким образом, следующее уравнение неявно описывает угол θ для каждой точки полета:

Ситуация в целом достаточно сложна: где-то далеко мяч приходит в движение и быстро летит по параболической кривой, конец которой трудно немедленно спрогнозировать. Но в этой сложной ситуации Чепмен нашел простое отношение:

Рис. 1.3. Траектория гипотетического брошенного мяча с отрезками, представляющими линии видимости мяча, и отрезками A и B, отношение длин которых дает интересующий нас тангенс

когда игрок стоит в правильном месте, тангенс θ увеличивается с постоянной скоростью. Вся суть открытия Чепмена заключалась в том, что тангенс θ, угла мяча относительно земли, растет линейно со временем. После того как Чепмен обнаружил эту простую связь, он смог создать элегантное алгоритмическое решение.

Решение опирается на тот факт, что если какая-то характеристика — в данном случае тангенс θ — растет с постоянной скоростью, то ее ускорение равно нулю. Таким образом, стоя точно в том месте, куда падает мяч, вы наблюдаете угол, тангенс которого обладает нулевым ускорением. Если вы стоите слишком близко к исходной позиции мяча, то наблюдаете положительное ускорение, а если слишком далеко — то отрицательное. (При желании вы можете самостоятельно проверить муторные вычисления, на которых основаны эти утверждения.) А это означает, что игрок может понять, в какую сторону ему следует бежать, по тому, насколько равномерно ему приходится задирать голову при наблюдении за подъемом мяча — так сказать, «думать шеей».

Применение алгоритма Чепмена

Не у всех роботов есть шея, так что метод «думать шеей» может оказаться бесполезным для робота-бейсболиста. Не забудьте, что роботы способны моментально решать квадратные уравнения, чтобы понять, где следует ловить мяч, не беспокоясь о скорости роста тангенса θ. Но для людей метод Чепмена может быть в высшей степени полезным. Чтобы оказаться в точке падения мяча, игрок-человек может следовать относительно простому процессу, описанному ниже.

1. Определить ускорение тангенса угла между землей и линией видимости мяча.

2. Если ускорение положительно, то сделать шаг назад.

3. Если ускорение отрицательно, то сделать шаг вперед.

4. Повторять шаги 1–3, пока мяч не окажется прямо перед вами.

5. Поймать его.

Одно серьезное возражение против метода Чепмена из пяти шагов заключается в том, что руководствующиеся им игроки должны на ходу вычислять тангенсы углов, а это означает, что теория внутреннего физика заменяется теорией внутреннего геометра, согласно которой бейсболисты могут мгновенно — и подсознательно — вычислять тангенсы.