Алгоритмы неформально. Инструкция для начинающих питонистов - [5]

Аналитический подход

Чтобы решить задачу с помощью аналитического метода, необходимо вернуться на несколько столетий назад к ранней модели движения.

Модель Галилея

Уравнения, чаще всего используемые для моделирования перемещения мяча, существуют со времен Галилея. Этот ученый несколько веков назад предложил полиномиальные формулы, связывающие ускорение, скорость и расстояние. Если не учитывать ветер и сопротивление воздуха и предположить, что мяч начинает движение на уровне земли, то, согласно модели Галилея, горизонтальная позиция брошенного мяча в момент времени t определяется формулой:

,

где v1 — начальная скорость мяча по оси x (по горизонтали). Кроме того, высота брошенного мяча (y) в момент времени t по Галилею вычисляется по формуле

,

где v2 — начальная скорость мяча по оси y (по вертикали); a — постоянное ускорение свободного падения под воздействием силы тяжести (в метрической системе равно приблизительно –9,81). Подставив первое уравнение во второе, мы находим, что высота брошенного мяча (y) связана с горизонтальной позицией мяча (x) следующей зависимостью:

.

Формулы Галилея можно использовать для моделирования траектории гипотетического мяча на языке Python; соответствующая функция приведена в листинге 1.1. Полиномиальная формула в данном листинге предназначена для мяча, начальная горизонтальная скорость которого составляет приблизительно 0,99 м/с, а начальная вертикальная скорость — около 9,9 м/c. Вы можете поэкспериментировать с другими значениями v1 и v2, чтобы смоделировать бросок с любыми интересующими вас параметрами.

Листинг 1.1. Функция вычисления траектории мяча

def ball_trajectory(x):

    location = 10*x - 5*(x**2)

    return(location)

Построив график функции из листинга 1.1 на языке Python, мы увидим, как приблизительно должна выглядеть траектория мяча (без учета сопротивления воздуха и других незначительных факторов). Средства построения графиков импортируются из модуля matplotlib в первой строке (листинг 1.2). Модуль matplotlib — один из многочисленных сторонних модулей, которые будут импортироваться в коде, приводимом в книге. Прежде чем использовать сторонний модуль, его необходимо установить. Инструкции по установке matplotlib и любых других сторонних модулей доступны на http://automatetheboringstuff.com/2e/appendixa/.

Листинг 1.2. Построение траектории гипотетического мяча между моментом броска (x = 0) и его соприкосновением с землей (x = 2)

import matplotlib.pyplot as plt

xs = [x/100 for x in list(range(201))]

ys = [ball_trajectory(x) for x in xs]

plt.plot(xs,ys)

plt.title('The Trajectory of a Thrown Ball')

plt.xlabel('Horizontal Position of Ball')

plt.ylabel('Vertical Position of Ball')

plt.axhline(y = 0)

plt.show()

На выходе (рис. 1.1) вы получаете красивый график с той траекторией, по которой наш гипотетический мяч должен перемещаться в пространстве. Красивая криволинейная траектория будет похожей для всех движущихся брошенных тел, находящихся под воздействием силы тяготения; писатель Томас Пинчон (Thomas Pynchon) поэтично назвал ее радугой тяготения.

Рис. 1.1. Траектория гипотетического брошенного мяча

Не все мячи будут точно следовать данной траектории, но это один из возможных путей, по которым может перемещаться мяч. Он начинает двигаться в точке 0. Летит вверх, а затем начинает опускаться, перемещаясь от левого края видимой области к правому, как мы не раз видели в жизни.

Стратегия решения для x

Теперь при наличии формулы для вычисления позиции мяча уравнение можно решить для любой интересующей вас точки: когда мяч достигнет наивысшей точки или когда снова опустится до уровня земли — то, что необходимо знать игроку, чтобы поймать его. Студенты, изучающие физику, учатся находить такие решения, и если вы хотите научить робота выполнять функции аутфилдера, то вполне естественно научить его и этим уравнениям. Метод определения итогового положения мяча сводится к тому, что вы берете функцию ball_trajectory(), с которой мы начали, и приравниваете ее к 0:

0 = 10x – 5x2.

Далее уравнение решается для x по формуле квадратного уравнения, которую все мы узнали еще в школе:

В данном случае мы определяем, что решениями являются x = 0 и x = 2. Первое решение, x = 0, относится к начальной точке движения, где мяч был приведен в движение броском питчера или ударом бьющего. Второе решение x = 2 относится к точке, в которой мяч снова соприкасается с землей после полета.

Использованная нами стратегия была относительно простой. Назовем ее стратегией решения для x. Вы записываете уравнение, описывающее ситуацию, а затем решаете его для интересующей вас переменной. Стратегия решения для x очень часто встречается в естественных науках — как в средней школе, так и в колледже. Студентам предлагается решать уравнения для определения ожидаемой точки падения, идеального уровня экономического производства, пропорции химиката, в которой он должен использоваться в эксперименте, и множества других показателей.

Стратегия решения для x чрезвычайно эффективна. Например, если армия наблюдает, как противник выпускает ракету, то может быстро ввести формулу Галилея в свои вычислительные устройства, почти моментально определить, куда попадет ракета, и вовремя отойти или сбить ее. Это можно легко сделать на обычном ноутбуке, на котором работает Python. Если бы робот играл в защите на бейсбольном поле, то мог бы проделать то же самое и перехватить мяч без малейших усилий.