Кажется, XX век прошел не зря. Сначала люди создали на миг второе Солнце, взорвав водородную бомбу. Потом они прогуливались по Луне и, наконец, доказали пресловутую теорему Ферма. Из этих трех чудес первые два у всех на слуху, ибо они вызвали огромные социальные последствия. Напротив, третье чудо выглядит очередной ученой игрушкой – в одном ряду с теорией относительности, квантовой механикой и теоремой Геделя о неполноте арифметики. Впрочем, относительность и кванты привели физиков к водородной бомбе, а изыскания математиков наполнили наш мир компьютерами. Продолжится ли этот ряд чудес в XXI веке? Можно ли проследить связь между очередными учеными игрушками и революциями в нашем быту? Позволяет ли эта связь делать успешные предсказания? Попробуем понять это на примере теоремы Ферма.
Заметим для начала, что она родилась гораздо позже своего естественного срока. Ведь первый частный случай тесуемы Ферма – это уравнение Пифагора X² + Y² = Z² , связывающее длины сторон прямоугольного треугольника. Доказав эту формулу двадцать пять веков назад, Пифагор сразу задался вопросом: много ли в природе таких треугольников, у которых оба катета и гипотенуза имеют целую длину? Кажется, египтяне знали лишь один такой треугольник – со сторонами (3, 4, 5). Но нетрудно найти и другие варианты: например (5, 12, 13), (7, 24, 25) или (8, 15, 17). Во всех этих случаях длина гипотенузы имеет ввд (А² + В² ), где А и В – взаимно простые числа разной четности. При этом длины катетов равны (А² – В² ) и 2АВ.
Заметив эти соотношения, Пифагор без труда доказал, что любая тройка чисел (X = А² – В² , Y = 2АВ, Z = А² + В² ) является решением уравнения X² + Y² = Z² и задает прямоугольник со взаимно простыми длинами сторон. Видно также, что число разных троек такого сорта бесконечно. Но все ли решения уравнения Пифагора имеют такой вид? Ни доказать, ни опровергнутьтакую гипотезу Пифагор не смог и оставил эту проблему потомкам, не заостряя на ней внимание. Кому охота подчеркивать свои неудачи? Похоже, что после этого проблема целочисленных прямоугольных треугольников лежала в забвении семь столетий – до тех пор, пока в Александрии не появился новый математический гений по имени Диофант.
Мы мало знаем о нем, но ясно: он был совсем не похож на Пифагора. Тот чувствовал себя царем в геометрии и даже за ее пределами – будь то в музыке, астрономии или политике. Первая арифметическая связь между длинами сторон благозвучной арфы; первая модель Вселенной из концентрических сфер, несущих планеты и звезды, с Землею в центре; наконец, первая республика ученых в италийском городе Кротоне – таковы личные достижения Пифагора. Что мог противопоставить таким успехам Диофант – скромный научный сотрудник великого Музея, давно переставшего быть гордостью городской толпы?
Только одно: лучшее понимание древнего мира чисел, законы которого едва успели ощутить Пифагор, Евклид и Архимед. Заметим, что Диофант еще не владел позиционной системой записи больших чисел; но он знал, что такое отрицательные числа и, наверное, провел немало часов, размышляя о том, почему произведение двух отрицательных чисел положительно. Мир целых чисел впервые открылся Диофанту как особая вселенная, отличная от мира звезд, отрезков или многогранников. Главное занятие ученых в этом мире – решение уравнений; настоящий мастер находит все возможные решения и доказывает, что других решений нет. Так поступил Диофант с квадратным уравнением Пифагора, а потом задумался: имеет ли хоть одно решение сходное кубическое уравнение X3 + Y3 = Z3 ?
Найти такое решение Диофанту не удалось; его попытка доказать, что решений нет, тоже не увенчалась успехом. Поэтому, оформляя итоги своих трудов в книге «Арифметика» (это был первый в мире учебник теории чисел), Диофант подробно разобрал уравнение Пифагора, но ни словом не заикнулся о возможных обобщениях этого уравнения. А мог бы: ведь именно Диофант впервые предложил обозначения для степеней целых чисел! Но увы: понятие «задачник» было чуждо эллинской науке и педагогике, а публиковать перечни нерешенных задач считалось неприличным занятием (только Сократ поступал иначе). Не можешь решить проблему – молчи! Диофант умолк, и это молчание затянулось на четырнадцать веков – вплоть до наступления Нового времени, когда возродился интерес к процессу человеческого мышления.
Кто только и о чем не фантазировал на рубеже XVI – XVII веков! Неутомимый вычислитель Кеплер пытался угадать связь между расстояниями от Солнца до планет. Пифагору это не удалось. Кеплер добился успеха после того, как научился интегрировать многочлены и другие несложные функции. Напротив, фантазер Декарт не любил длинных расчетов, но именно он первый представил все точки плоскости или пространства, как наборы чисел. Эта дерзкая модель сводит любую геометрическую задачу о фигурах к некой алгебраической задаче об уравнениях – и наоборот. Например, целые решения уравнения Пифагора соответствуют целым точкам на поверхности конуса. Поверхность, соответствующая кубическому уравнению X³ + Y³ = Z³ , выглядит сложнее; ее геометрические свойства ничего не подсказали Пьеру Ферма, и тому пришлось прокладывать новые пути сквозь дебри целых чисел.
