Представьте себе длинную и очень тонкую трубочку — например, пустой внутри пожарный шланг, уменьшенный в тысячу раз. Это двумерная поверхность, но два ее измерения неравноправны. Одно из них, длину, заметить легко — это «макроскопическое» измерение. Периметр же — «поперечное» измерение — можно разглядеть только под микроскопом. Современные многомерные модели мира похожи на эту трубочку, хотя они имеют не одно, а четыре макроскопических измерения — три пространственных и одно временное. Остальные измерения в этих моделях нельзя рассмотреть даже под электронным микроскопом. Чтобы обнаружить их проявления, физики пользуются ускорителями — очень дорогими, но грубыми «микроскопами» для субатомного мира.
Пока одни ученые совершенствовали эту впечатляющую картину, блестяще преодолевая одно препятствие за другим, у других назрел каверзный вопрос:
Может ли размерность быть дробной?
А почему бы и нет? Для этого надо «просто» найти новое свойство размерности, которое могло бы связать ее с нецелыми числами, и обладающие этим свойством геометрические объекты, имеющие дробную размерность. Если мы хотим найти, например, геометрическую фигуру, имеющую полтора измерения, то у нас есть два пути. Можно пытаться либо отнять пол-измерения у двумерной поверхности, либо добавить пол-измерения к одномерной линии. Чтобы это сделать, потренируемся сперва на добавлении или отнятии целого измерения.
Есть такой известный детский фокус. Фокусник берет треугольный листок бумаги, делает на нем надрез ножницами, сгибает листок по линии надреза пополам, делает еще один надрез, опять сгибает, надрезает последний раз, и — ап! — в его руках оказывается гирлянда из восьми треугольничков, каждый из которых совершенно подобен исходному, но в восемь раз меньше его по площади (и в корень квадратный из восьми раз — по размерам). Возможно, этот фокус показали в 1890 году итальянскому математику Джузеппе Пеано (а может быть, он сам любил его показывать), во всяком случае, именно тогда он заметил вот что. Возьмем идеальную бумагу, идеальные ножницы и повторим последовательность надрезания и складывания бесконечное число раз. Тогда размеры отдельных треугольничков, получаемых на каждом шаге этого процесса, будут стремиться к нулю, а сами треугольники стянутся в точки. Стало быть, мы получим из двумерного треугольника одномерную линию, не потеряв при этом ни кусочка бумаги! Если не растягивать эту линию в гирлянду, а оставить такой «скомканной», как у нас получилось при разрезании, то она заполнит треугольник целиком. Более того, под каким сильным микроскопом мы бы ни рассматривали этот треугольник, увеличивая его фрагменты в любое число раз, получаемая картина будет выглядеть точно так же, как не увеличенная: выражаясь научно, кривая Пеано имеет одинаковую структуру при всех масштабах увеличения, или является «масштабно инвариантной».
Итак, изогнувшись бесчисленное множество раз, одномерная кривая смогла как бы приобрести размерность два. Значит, есть надежда и на то, что менее «скомканная» кривая будет иметь «размерность», скажем, полтора. Но как же найти способ измерять дробные размерности?
В «булыжном» определении размерности, как помнит читатель, надо было использовать достаточно маленькие «булыжники», иначе результат мог получиться неправильный. Но маленьких «булыжников» потребуется много: тем больше, чем меньше их размер. Оказывается, для определении размерности не обязательно изучать, как «булыжники» прилегают друг к другу, а достаточно лишь выяснить, как возрастает их число при уменьшении величины.
Возьмем отрезок прямой длиной 1 дециметр и две кривые Пеано, вместе заполняющие квадрат размером дециметр на дециметр. Будем покрывать их маленькими квадратными «булыжниками» с длиной стороны 1 сантиметр, 1 миллиметр, 0,1 миллиметра и так далее вплоть до микрона. Если выражать размер «булыжника» в дециметрах, то на отрезок потребуется число «булыжников», равное их размеру в степени минус единица, а на кривые Пеано—размеру в степени минус два. При этом отрезок определенно имеет одно измерение, а кривая Пеано, как мы видели, — два. Это не просто совпадение. Показатель степени в соотношении, связывающем число «булыжников» с их размером, действительно равен (со знаком минус) размерности той фигуры, которая ими покрыта. Особенно важно, что показатель степени может быть дробным числом. Например, для кривой, промежуточной по своей «скомканности между обычной линией и парой плотно заполняющих квадрат кривых Пеано, величина показателя будет больше 1 и меньше 2. Это и открывает нужную нам дорогу к определению дробных размерностей.
Именно таким способом была определена, например, размерность береговой линии Норвегии — страны, имеющей очень изрезанное (или «скомканное» — как кому больше нравится) побережье. Конечно, замощение булыжниками берега Норвегии происходило не на местности, а на карте из географического атласа. Результат (ие абсолютно точный из-за невозможности на практике дойти до бесконечно малых «булыжников») составил 1,52 плюс-минус одна сотая. Ясно, что размерность не могла получиться меньше единицы, поскольку речь идет все-таки об «одномерной» линии, и больше двух, поскольку береговая линия Норвегии «нарисована» на двумерной поверхности земного шара.
