Живой учебник геометрии - [28]

§ 54. Перпендикуляр, наклонная, проекция

Если из точки проведен к прямой перпендикуляр, – например, CD (черт. 152), то точка D называется

о с н о в а н и е м п е р п е н д и к у л я р а. Всякая другая линия, проведенная через точку С к прямой А В, встречает ее не под прямым углом (почему?) и называется наклонной; например, СЕ, CF – наклонные. Точки Е, F – о с н о в а н и я наклонных.

Расстояния DE, DF от основания перпендикуляра до оснований наклонных называются проекциями этих наклонных: DE – проекция наклонной СЕ, a DF – проекция наклонной CF.

Рассмотрим некоторые соотношения между перпендикуляром, наклонными и их проекциями.

1) Перпендикуляр короче каждой наклонной, проведенной к той же прямой из той же точки. Например, CD на черт. 152 короче, чем CF и чем СЕ, потому что катет короче гипотенузы. Перпендикуляр есть поэтому самое короткое расстояние от точки до прямой. Когда говорят о расстоянии точки от какой-нибудь прямой, то имеют в виду именно к р а т ч а й ш е е расстояние,

т. е. п е р п е н д и к у л я р из точки на эту прямую.

2) Если из какой-нибудь точки проведены к прямой две наклонные о д и н а к о в о й длины, – напр., АВ и АС на черт. 153, то проекции этих наклонных р а в н ы. В самом деле: треугольники ABD и ACD имеют общий катет AD, равные гипотенузы АВ и АС и кроме того, уг. B= уг. С (§ 52); поэтому они равны (СУС), и значит, катет ОВ = катету DC.

3) Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, то эти наклонные имеют одинаковую длину. Если бы на черт. 153 нам не было известно, что наклонные АВ и АС равны, но взамен этого мы знали бы, что BD= DC, то установили бы равенство АВ и АС из равенства прямоугольных треугольников ADB и ADC(СУС).

§ 55. Следствие предыдущего параграфа

Сейчас мы установили, что при равных проекциях наклонные равны. Отсюда вытекает важное свойство перпендикуляра, проведенного через середину стороны. А именно: если через середину С отрезка АВ (черт. 154) проведена перпендикулярно к нему прямая EF, то каждая точка этого перпендикуляра удалена от концов отрезка одинаково. Например, точка М одинаково отстоит от точек А и В. Это следует из того, что проекции ВС и АС наклонных MB и МА равны, – значит, равны и наклонные. Точно также равны расстояния NА и NB. Вообще

к а ж д а я т о ч к а п е р п е н д и к у л я р а, п р о в е д е н н о г о ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а, о д и н а к о в о

у д а л е н а о т к о н ц о в э т о г о о т р е з к а.

Другое следствие § 54 дает нам полезный признак равенства прямоугольных треугольников:

п р я м о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о г и п о т е н у з е и к а т е т у.

Чтобы убедиться в этом, приложим друг к другу сравниваемые треугольники равными катетами (черт. 136). Тогда гипотенузы, как равные наклонные, должны иметь равные проекции, т. е. другие катеты этих треугольников должны быть равны. Значит, треугольники равны (ССС).

Повторительные вопросы к §§ 54–55

Покажите на чертеже, что называется наклонной линией, основанием перпендикуляра, основанием наклонной, проекцией. – Что длиннее: перпендикуляр или наклонная? – Что называется расстоянием от точки до прямой линии? – Каково соотношение между длиною наклонных в случае равенства проекций? – Каким свойством обладает прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину? – Перечислите все известные вам признаки равенства прямоугольных треугольников.

Применения

62. Извилистый ручей протекает между двумя селениями. Как разыскать все места ручья, одинаково ударенные от обоих селений?

Р е ш е н и е. Соединив селения прямой линией, провешивают через ее середину перпендикуляр. Все точки пересечения этого перпендикуляра с ручьем и будут искомые.

63. Где надо поместить фонарь внутри треугольного участка, чтобы все углы «его были освещены одинаково?

Р е ш е н и е. Искомая точка должна быть одинаково удалена от всех вершин треугольника. Сначала найдем все те точки, которые одинаково отстоят от двух вершин: для этого проведем перпендикуляр через середину одной. стороны треугольника. Затем проведем перпендикуляр через середину другой стороны: на нем расположены все точки, равноудаленные от двух других вершин. Искомая точка лежит на пересечении обоих перпендикуляров.

§ 56. Средняя линия треугольника

Предварительное упражнение

В треугольнике АВС (черт. 155) точка Dесть середина А В, а прямая EFпараллельна АВ. Докажите: 1) что треугольник FCE= треугольнику DBE; 2) что фигура ADEF– параллелограмм.

Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины двух его сторон (DEна черт. 155). Этот отрезок обладает следующими свойствами:

с р е д н я я л и н и я т р е у г о л ь н и к а п а р а л л е л ь н а п р о т и в о л е ж а щ е й с т о р о н е и р а в н а е е

п о л о в и н е.

Удостоверимся в этом. Пусть в треугольнике АBС (черт 155) прямая DE соединяет середины сторон; покажем, что она параллельна стороне АС и равна ее половине. Для этого через точку Е проведем EF параллельно АВ. Треугольники DBE и FEC равны (почему?), поэтому уг. 1 = уг. 2, и значит,