Живой учебник геометрии - [27]

(черт. 144);

затем около точек А и В каким-нибудь радиусом описываем дуги D. Прямая DС перпендикулярна к МN. Чтобы убедиться в этом, соединим С и Dс А и В.

Треугольники ACDи ВCD равны (ССС), следовательно, уг. ACD= уг. DCВ, и значит, треугольник АСО = ВСО (СУС). Отсюда уг. AОС = уг. ВОС, а так как эти углы смежные, то они прямые.

56. Объясните, почему каждая точка М прямой ВM, делящей пополам угол АВС (черт. 145) одинаково отстоит от сторон АВ и ВС угла (т. е. почему, например, MK= ML?).

Р е ш е н и е. Треугольники ВML и ВМК равны (УСУ).

§ 51. Равносторонний треугольник

Треугольник с тремя равными сторонами называется р а в н о с т о р о н н и м. Так как против равных сторон в одном и том же треугольнике лежат равные углы, то все углы равностороннего треугольника равны, и, следовательно, каждый из них равен. 180°: 3 = 60°.

Обратно: если каждый угол треугольника равен 60°, то все стороны такого треугольника одинаковы, – потому что, против равных углов в одном и том же треугольнике лежат, равные стороны.

Применения

57. Без транспортира построить угол в 60°. В 30°. В 15°. В 120°. В 75°.

Р е ш е н и е. Строим равносторонний треугольник произвольных размеров; каждый его угол = 60°. Разделив угол этого треугольника пополам, получим угол в 30°. Разделив еще раз пополам, будем иметь угол в 15°. Угол в 120° = 90° + 30°. Угол в 75° =60° + 15° = 90° – 15°.

§ 52. Катет против угла в 30°

Предварительное упражнение

Равносторонний треугольник разбит равноделящей одного из углов на два треугольника. Определить их углы.

уг. D= 60°; а так как и уг. ABD= 60°, то треугольник ABD– равносторонний, и следовательно, AD= АВ. Но АС = 1/2 АD (почему?); отсюда АС = 1/2 АВ.

Итак, мы убедились, что

к а т е т п р о т и в у г л а в 30° р а в е н п о л о в и н е г и п о т е н у з ы.

Применения

58. Лестница длиною 6 м приставлена к фонарному столбу под углом 30° к нему (черт 148). Каково расстояние от основания лестницы до основания фонаря?

Р е ш е н и е. Так как катет против 30° равен половине гипотенузы, то искомое расстояние = 3 м.

59. Длина стропильной ноги АС (черт. 137) вдвое больше высоты ADстропильной фермы. Определить угол наклона этой кровли к горизонту.

Р е ш е н и е. Искомый угол СAD = 30°, так как только при таком условии CD равно половине АС.

Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник (черт. 146) ABC, один угол которого, именно В, равен 30°. Перегнем мысленно треугольник по катету ВС. Тогда займет положение ВСD (черт. 147), при чем CD составит продолжение АС, потому что уг. ВСD + ВСА = развернутому. Уг. СВD = уг. ABC= 30°; значит, уг. А = 60°;

§ 53. Неравные стороны и углы

Мы знаем, что если в треугольнике есть равные стороны, то углы, лежащие против них, тоже равны. Рассмотрим теперь, каково соотношение между сторонами и углами в случае н е р а в н ы х сторон.

Предварительное упражнение

В фигуре черт. 149 укажите какой угол больше: уг. 1 или у г. 2?

В фигуре черт. 151 АВ = AD. Какой угол больше; уг. С или у г. 1?

Покажем, что в

т р е у г о л ь н и к е с н е р а в н ы м и с т о р о н а м и п р о т и в б о л ь ш е й с т о р о н ы л е ж и т б о л ь ш и й у г о л. Пусть в треугольнике АВС (черт. 150) сторона АС больше «стороны АВ. Отложим от вершины образуемого ими угла меньшую сторону АВ на большей АС получим точку D. Соединив Dс В, имеем равнобедренный треугольник ABD, в котором угол 1 = уг. 2. Угол С меньше угла 1, а значить, подавно меньше угла. ABC. Таким образом мы убеждаемся, что против большей стороны [АС] лежит больший угол [ABC].

Нетрудно удостовериться, что и обратно: если в треугольнике имеются неравные углы, то

п р о т и в б о л ь ш е г о у г л а л е ж и т б о л ь ш а я с т о р о н а.

Пусть мы знаем, что в треугольнике (черт. 151) ABC уг. А больше угла С. Тогда сторона ВС не может быть равна АВ: иначе уг. А равнялся бы углу С; не может сторона ВС быть и м е н ь ш е: АВ – тогда уг. А был бы м е н ь ш е угла С (а мы знаем, что уг. А б о л ь ш е уг. С). Не равен и не меньше, значит – больше.

Применения

60. Что больше: гипотенуза или катет?

Р е ш е н и е. Гипотенуза, как сторона, лежащая против самого большого угла треугольника, длиннее каждого катета.

61. Угол при вершине равнобедренного треугольника = 70°. Что длиннее: основание или боковая сторона?

Р е ш е н и е. Углы при основании равны (180°-70°) / 2 = 65°.

Так как угол прш вершине больше, то основание больше боковых сторон.

Повторительные вопросы к §§ 48–53

Каково соотношение между углами треугольника, две стороны которого равны? – каково соотношение между сторонами треугольника, имеющего два равных угла? – Каковы соотношения в треугольнике с неравными сторонами? – С нерав-нымиуглами? – Какой треугольник называется равнобедренным? – Какая сторона такого треугольника называется боковой? – Какая называется основанием? – Как называется треугольник, имеющий два равных угла? – Сколько градусов в угле, опирающемся на диаметр? – Какой треугольник называется прямоугольным? – Что называется гипотенузой? – Катетами? – По каким признакам можно установить равенство прямоугольных треугольников? – Какой треугольник называется равносторонним? – Как велики его углы? – Каково соотношение между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 1/3 прямого?