Живой учебник геометрии - [26]
Предварительные упражнения
Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.
Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?
Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и
в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.
Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.
Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.
Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:
в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.
Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:
в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.
Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.
Применения
52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?
Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение
х + х – 40 + х – 40 = 200,
из которого находим: х =280/3 = 93 1/3 м.
Значит, в таком случае стороны треугольника имеют длину: 93 1/3 м, 531/3 м и 531/3 м.
Если же основание к о р о ч е боковых сторон, то составляем уравнение
y + y + 40 + y + 40 = 200,
из которого y = 40 м. Следовательно, второе решение задачи 40 м, 80 м и 80 м.
53. Кровля, в зависимости от материала, из которого она сделана, должна составлять с горизонтальной линией следующие углы (черт. 137):
Железная и цинковая. . . 30°
Толевая. . . . . . . . . . 18°
Черепичная. . . . . . . . 40°
Тесовая. . . . . . . . . . 45°
Соломенная. . . . . . . . 60°
Зная это, определите, какой угол должны составлять между собой стропильные ноги двускатной крыши в каждом случае.
Р е ш е н и е. Для железной кровли искомый угол равен 180° – 2 ? 300 = 120°; для толевой 180° – 2 ? 18° = 144°; для черепичной 180° – 2 ? 40° = 100°; для тесовой 180° – 2 ? 45° = 90°; для соломенной 180° – 2 ? 60° = 60°.
§ 49. Угол, опирающийся на диаметр
Из свойств равнобедренного треугольника вытекает следующая особенность угла, вписанного в полукруг (черт. 138) или: как его иначе называют – «опирающего на диаметр»:
У г о л, о п и р а ю щ и й с я н а д и а м е т р, р а в е н п р я м о м у.
«Опирающимся на диаметр», или «вписанным в полукруг» называют такой угол, вершина которого лежит на дуге окружности, а стороны проходят через концы диаметра; таковы углы: 1 на черт. 138 и 2 на черт. 139. Желая удостовериться, что такой угол во всех случаях равен 90°, мы соединяем центр О полукруга (черт. 140) с вершиной В угла. Получаем два равнобедренных треугольника АОВ и ВОС (почему они равнобедренные?). В них
уг. 2 = уг. 1
уг. 3 = уг. 4.
Отсюда уг. 2 + уг. 3 (т. е. уг. АВС) = уг. 1 + уг. 4. Но так как уг. АВС + уг. 1 + уг. 4 = 180°, то уг. ABC= 90°.
Этим свойством окружности пользуются нередко для того, чтобы в изделиях проверять полуокружность помощью чертежного треугольника (как?).
§ 50. Прямоугольный треугольник
В треугольнике, мы знаем, может быть только один прямой угол. Такой треугольник называется п р я м о у г о л ь н ы м. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: каждая из сторон, между которыми лежит прямой угол, называется к а т е т о м, а сторона против прямого угла называется г и п о т е-н у з о й.
Применения
54. Через точку С (черт. 141) на прямой MNнужно провести перпендикуляр. Как это сделать?
Р е ш е н и е. Отложив (черт. 142) от С в обе стороны по какому-нибудь равному отрезку, т. е. CA= CB, описываем около А и В, как центров, каким-нибудь радиусом дуги; прямая PC, соединяющая точку Р пересечения дуг с точкой С, перпендикулярна к МN. Действительно, треугольники АР С и ВРС, получающиеся после соединения А и В с P, равны (СУС); следовательно, уг. АСР = уг. ВСР, а так как эти углы смежные, то они – прямые.
55. Через точку С (черт. 143) вне прямой МN про вести к этой прямой перпендикуляр.
Р е ш е н и е. Около точки С, как около центра, описываем каким-нибудь радиусом дугу
