Живой учебник геометрии - [30]

Повторительные вопросы к §§ 57 и 58

Что называется средней линией треугольника? – Каким свойством она обладает? – Как разделить данный отрезок на несколько равных частей? – Начертите какой-нибудь отрезок и разделите его на 3 равные части. – Разделите взятый вами отрезок на 7 равных частей. – Что называется средней линией трапеции? – Каким свойством она обладает? – Как можно вычислить площадь трапеции, если известны ее высота и средняя линии?

Применения

66. Фигура АВCD (черт. 164) ограничена прямой AD, двумя перпендикулярами АВ и CDи кривой ВС. Чтобы определить ее площадь, отрезок ADразделен на 5 равных частей, и из середины этих отрезков 1, 2, 3, 4, 5 восстановлены перпендикуляры к AD. Длина отрезка AD= 80 см; длины перпендикуляров: в точке 1 – 28 см, в 2 – 31 см, в.3 – 31,5 см, в 4 -32 см, в 5 – 34 см. Найти площадь АВСD.

Р е ш е н и е. Площадь первой слева полосы = 28 16 = = 448 кв. см, второй – 31 16 = = 496 кв. см, третьей – 31,5 16 = = 504кв. см, четвертой – 32 16 = 512 кв. см, пятой – 34 16 = 544 кв. см. Искомая площадь = 2 500 кв. см.

IX. МНОГОУГОЛЬНИКИ

§ 59. Cуммa углов многоугольника

Мы знаем, что сумма углов у всех треугольников одна и та же (180°). Рассмотрим теперь, одинакова ли сумма углов у всех четырехугольников, у всех пятиугольников – вообще у всех «одноименных» многоугольников.

Для примера возьмем ш е с т и у г о л ь н и к (черт. 165). Проведем из какой-нибудь его вершины, напр., из A, диагонали к прочим вершинам. Мы разобьем этим наш шестиугольник на 4 треугольника. Сумма углов каждого из них 180°, а всех четырех вместе-180° 4. Но это и есть, как легко понять, сумма всех углов нашего шестиугольника.

Каковы бы ни были форма и размеры шестиугольника, он разбивается на 4 треугольника, и следовательно, сумма углов всякого шестиугольника = 180° 4 = 720°.

Если бы вместо шестиугольника, мы взяли многоугольник с другим числом сторон, например, девяти-угольник, то разбили бы его диагоналями не на 4, а на 7 треугольников; поэтому сумма углов всякого девяти-угольника равна 180° 7= 1260°.

Таким же образом найдем, что сумма углов всякого четырехугольника 180° 2 = 360°, пятиугольника 180° 3 = 540° и т. д.

Нетрудно подметить общее правило: с у м м а у г л о в в с я к о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а 180° у м н о ж е н н ы м н а ч и с л о е г о с т о р о н б е з д в у х.

§ 60. Правильные многоугольники

Многоугольник, у которого все углы и все стороны одинаковы называются п р а в и л ь н ы м.

Величину каждого угла правильного многоугольника легко вычислить, раз мы умеем вычислять сумму всех этих углов и знаем, что они одинаковы. Например, каждый угол правильного пятиугольника равен 540°/5= 108°,

правильного шестиугольника равен 720°/6= 120°, и т. д.

Применения

67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?

Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.

68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?

Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.

X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТЯХ

§ 61. Разыскание центра. Хорды

На практике нередко возникает надобность разыскать центр данной окружности или дуги. Покажем, как это делается.

Пусть требуется разыскать центр дуги, изображенной на чертеже 167. Возьмем на ней две произвольные точки, – напр. А и В (черт. 168). Центр круга должен быть, конечно, одинаково удален от каждой из них. А мы знаем, что все точки, одинаково удаленные от двух данных точек, расположены на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, соединяющего эти две точки (§ 55). Проведя этот перпендикуляр, получаем прямую MN(черт. 169), на которой и должен находиться искомый центр дуги. Чтобы узнать, какая именно, из точек этой прямой есть центр дуги, мы избираем на той же дуге другую пару точек, – например, С и Р (черт. 170) и, прилагая к ним те же рассуждения, проводим перпендикуляр LК к середине соединяющей их прямой. Точка О пересечения обоих перпендикуляров и есть искомый центр дуги.

Прямая, соединяющая две точки окружности (или дуги), называется хордой. Поэтому сейчас установленное свойство можно высказать так:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й ч ер е з с е р е д и н у х о р д ы, п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р о к р у ж н о с т и.

Справедливо и обратное утверждение, а именно:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й к х о р д е ч е р е з ц е н т р к р у г а, п р о х о д и т ч е р е з с е р е д и н у х о р д ы.

Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.

Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ОA и ОВ] имеют не равные проекции [