Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [90]

Отсюда вовсе не следует, что «никакой гравитации нет»; и гравитация есть, и порождаемые ею эффекты (как, например, черные дыры) есть. Но «все интересное» возникает как результат соединения воедино простых локальных картин. Сложное в том, как соединяется простое. Так строится и искривленная геометрия.

*****

Склейка простого в сложное. Транссибирская магистраль – это железная дорога длиной 9288 км. Если бы (скажем, для развлечения) жители населенных пунктов, расположенных вдоль дороги[103], отобрали картографов, каждый из которых снабжен картой своего района и близких окрестностей, но по стечению обстоятельств вызывающе необразован во всем остальном, и поручили им составить единую карту, то картографы столкнулись бы с проблемами. Все они привезли бы с собой карты, выполненные в близких масштабах, а кроме того, перекрывающиеся по краям: скажем, село Танга присутствует и на карте, привезенной из Петровска-Забайкальского (станция Петровский Завод), и на карте, привезенной из Читы. Но при попытке соединения локальных карт в одну большую возникли бы разногласия о том, где, собственно, север. В некотором роде направления на север различаются тем сильнее, чем дальше друг от друга находятся две области. Решение, к которому картографы могли бы прийти, чтобы не рассориться, – забыть про общий для всех север, а вместо этого договориться только попарно между соседями о том, как сопоставлять правый край карты, скажем, из Анжерска с левым краем карты из Мариинска, и точно так же – правый край карты из Мариинска с левым краем карты из Боготола и т. д. Буквальное наложение карт друг на друга по краям оказывается при этом неточным и требует некоторых усилий для установления соответствия в области перекрытия.

Рис. 6.4. Сферический треугольник образован «самыми прямыми из возможных» линиями на сфере (глобусе), но сумма углов этого треугольника сильно отличается от 180°: она составляет 270°

Мы-то знаем источник проблемы: карты на самом деле покрывают часть глобуса, и про меридианы, на которых расположены Москва (37°36′56'' в.д.) и Владивосток (135°42′34'' в.д.), никак нельзя сказать, что они параллельны, несмотря на то что оба указывают на север, – они пересекаются у Северного полюса под углом 98°. В треугольнике, образованном этими двумя меридианами и отрезком экватора между ними, сумма углов равна 278°, что больше трех прямых углов. (Вот она, искривленная геометрия!) Похожий треугольник – с тремя прямыми углами – изображен на рис. 6.4. Неудивительно, что у картографов возникают сложности, когда они раскладывают карты по плоской поверхности стола, где сумма углов треугольника всегда 180°.

Рис. 6.5. В проекции Меркатора размеры искажаются все сильнее по мере удаления от экватора (истинные размеры некоторых стран и областей показаны темным). Для того чтобы по расстояниям на карте определить расстояние по земной поверхности, требуются поправочные множители, причем разные в различных точках

Локальные представления, устроенные настолько просто, что не вызывают затруднений даже у горе-картографов, могут оказаться частью чего-то глобально более сложного, часто – искривленного. Сфера имеет кривизну, и ее нельзя накрыть одной картой, даже если разрешить себе любые гладкие (без разрезов) искажения форм и размеров. В проекции Меркатора (рис. 6.5) радикально увеличены в размерах полярные области (маленькая Антарктида оказывается суперматериком, а Гренландия приобретает размер Африки, хотя в действительности она в 14 раз меньше по площади). Но настоящая проблема, собственно, с полюсами: если строго следовать геометрическим предписаниям по построению проекции, то они должны оказываться «бесконечно» далеко сверху и снизу; в реальности их помещают на некотором произвольном расстоянии от экватора, но каждый полюс при этом приходится изображать линией. Раздувать точку в линию – намного более «плохая практика», чем искажения формы и размера. Из-за кривизны сферы на ней нельзя нарисовать координатную сетку, которая работала бы во всех точках: как минимум в одной точке она непременно откажет. Стандартные координаты на земном шаре/глобусе – широта и долгота – введены для того, чтобы каждой точке на поверхности отвечали два числа; получилось же – каждой, кроме полюсов. В полюсах сходятся все меридианы и поэтому нет значения долготы (а все направления указывают на юг с Северного полюса и на север с Южного).

Не только сферу не накрыть одной картой с хорошей и всюду пригодной координатной сеткой. Похожее может случиться в пространстве-времени, стоит только расширить жизненный опыт за пределы того, что доступен «равномерным и прямолинейным» наблюдателям. Например, как мы видели в добавлениях к предыдущей прогулке, космонавты в ускоряющейся ракете теряют возможность разобраться, что творится за определенным пределом. Координаты – «разметка» пространства-времени, – которые они вводят для описания мира со своей точки зрения, не работают глобально.

Рис. 6.6. Отождествления одних и тех же пунктов на двух картах. Если склеить карты так, чтобы соответствующие точки наложились друг на друга, координатные линии окажутся изогнутыми