Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [7]

Знаменитый логик, фокусник и математик Рэймонд Смаллиан (1919–2017) (он, к слову сказать, был еще и концертным пианистом: его исполнение Баха можно послушать на YouTube) рассказывал, как он впервые столкнулся с концепцией логики. Это случилось однажды 1 апреля, когда Рэймонд был еще маленьким мальчиком. Накануне вечером старший брат будущего логика пообещал, что разыграет его (как обычно и делают первого апреля), и заверил, что Рэймонд не сумеет избежать розыгрыша, как бы он ни пытался.

Рэймонд воспринял эту угрозу очень серьезно и решил, что не доставит брату такого удовольствия и не позволит себя разыграть. Подумав немного, он решил, что лучшим способом уберечься от первоапрельского розыгрыша будет засесть в своей комнате и не выходить из нее весь день.

Умно́, не правда ли?

Рэймонд пошел в свою комнату, закрыл дверь и сидел там, изнывая от скуки, час за часом… до самой полуночи. Потом он гордо вышел из комнаты и торжествующе объявил брату, что его план провалился. Брат ответил: «А вот и нет! Я тебя разыграл! Ты думал, что я тебя разыграю, а я тебя так и не разыграл, значит, я тебя разыграл! Ха-ха-ха!»

До самой смерти Рэймонд Смаллиан не был уверен, что же все-таки произошло: удалось или не удалось брату его разыграть. А вы как думаете?

Шоколад и яд

Эта весьма простая игра больше всего известна под названием Chomp[6]. Вариант этой игры на плитке шоколада изобрел ныне покойный американский математик Дэвид Гейл, а название Chomp придумал Мартин Гарднер. Играют в нее на разграфленной на клетки доске по следующим правилам.

Игрок, делающий первый ход, помечает одну из клеток крестиком.

После этого все клетки, расположенные выше и правее помеченной, также помечаются крестиками (и выходят из игры). Ниже исходный крестик выделен жирным шрифтом:

Теперь второй игрок должен пометить любую из оставшихся пустыми клеток ноликом. После этого все пустые клетки, расположенные правее и выше помеченной, также помечаются ноликами (исходный нолик выделен жирным шрифтом):

Затем первый игрок ставит следующий крестик, второй игрок ставит следующий нолик, и так продолжается до тех пор, пока один из них не будет вынужден съесть отравленную дольку и умереть (разумеется, метафорически).

Осторожно: эта игра затягивает!

Можете попробовать поиграть в нее на доске размером 7 × 4 (7 строк и 4 столбца или наоборот).

Если в эту игру играют на доске с равным количеством строк и столбцов, существует стратегия, при помощи которой первый игрок всегда побеждает. Можете ли вы ее найти? Подумайте минуты три.

Решение

Первый игрок должен выбрать клетку, расположенную по диагонали над ядом.

После этого все ответные ходы первого игрока должны быть симметричны ходам второго:

* Первый ход соперника

** Ответный ход первого игрока

Теперь должно быть ясно, как выиграть эту партию.

Ситуация становится гораздо более сложной, когда игра идет на доске, количества строк и столбцов на которой не равны; однако и в этом случае можно доказать, что для начинающего партию игрока существует выигрышная стратегия. К сожалению, доказательство не уточняет, в чем именно эта стратегия заключается. Математики называют такие доказательства «неконструктивными доказательствами существования».

И наконец, выполним упражнение.

Найдите выигрышную стратегию для первого игрока в игре на прямоугольной доске размером 2 × N (2 строки, N столбцов).

Подсказка: Чтобы получить симметричную позицию, как на квадратной доске, нужно прийти к положению, в котором незанятой останется только клетка с ядом или еще две клетки – одна над ядом и одна справа от него.

А теперь, когда вы (я надеюсь) решили эту задачу, что, по-вашему, произойдет, если на доске будут две строки и бесконечное количество столбцов? Кто выиграет теперь? Бесконечность – злостный нарушитель правил!

1 Чудесный мир чисел: Пифагор

Человек и легенда

Я впервые услышал о Пифагоре, когда учился в 4 классе и записался в математический кружок – на внешкольные занятия, предназначенные для тех странных детей, которые любят проводить свое свободное время, изучая необычные геометрические фигуры и завязывая отношения с числами, в которых скрываются загадочные секреты. Мне нравилось даже произносить само это имя: Пи-фа-гор. Мне сразу же показалось, что человек с таким необычайно звучащим именем и сам должен быть личностью необыкновенной. И я не ошибся. Многие считают Пифагора (ок. 570 – ок. 495 г. до н. э.) одним из самых интересных философов досократовской эпохи. Еще «отец истории» Геродот (ок. 485 – ок. 425 г. до н. э.) называл Пифагора одним из величайших философов Древней Греции. Даже Гераклит (ок. 535 – ок. 475 г. до н. э.), философ чрезвычайно спесивый, сетовавший на глупость всего человечества (за исключением, разумеется, самого себя), признавал, что Пифагор свое дело знает.

Найти какие-либо достоверные факты о жизни Пифагора нелегко, главным образом потому, что источники, рассказывающие о нем, написаны по большей части уже после его смерти. Сам Пифагор, по-видимому, писал мало – если вообще что-то писал. Однако Диоген Лаэртский{5}, автор книги «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов» (сборника биографий всех великих греков), называет три работы, написанные Пифагором: «О воспитании», «О государстве» и «О природе». Однако так считает практически он один: другие историки в большинстве своем утверждают, что эти книги написаны не Пифагором.