Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [29]

равен 2. Но это не так! Если хотите, проверьте сами. Дело в том, что мы не получаем ровно 2, потому что калькулятор выдает лишь приближенное значение √2. Даже если купить самый лучший, самый совершенный калькулятор, выдающий больше десятичных знаков после запятой, результат все равно будет лишь приближением к √2, но никогда – точным значением √2.

Взяв вместо калькулятора компьютер, я получаю следующий результат:

1,41421356237309504880168872420969807.

Если вам нужно невероятно скучное занятие на дождливый вечер, попробуйте самостоятельно умножить это число само на себя и проверить, получится ли 2. Не получится. Вы снова получите некий результат, близкий к 2, но не равный 2.

А теперь объяснения

Вот удобный способ понять, что такое иррациональное число: когда мы пишем, что √2 равен 1,4142135… очень трудно объяснить, что обозначает это многоточие в конце. Иррациональность числа подразумевает, что 1) его десятичное представление бесконечно, и 2) в нем никогда не возникают какие бы то ни было повторяющиеся структуры.

Если число десятичных знаков после запятой конечно, такое число явно рационально – то есть вполне может быть выражено в виде дроби a/b. Например, 0,174271 = 174 271 / 1 000 000.

Число, имеющее бесконечное десятичное представление с повторяющейся структурой также рационально, хотя понять это может быть немного труднее. Например, рассмотрим число r = 0,123123123123… В этом числе имеется простая повторяющаяся структура, и легко доказать, что это число рационально, то есть может быть представлено в виде a/b.

Умножим число r на 1000 (число 1000 было выбрано в связи с длиной повторяющейся структуры) и вычтем из результата r:

1000r – r = 999r = 123,123123123… – 0,123123123… = 123.

Следовательно, r = 123/999, что можно сократить до 41/333, а это явное отношение двух целых чисел, и, если вы разделите в столбик 41 на 333, вы сможете убедиться, что эта дробь действительно равна 0,123123123…

Однако проделать тот же фокус с √2 нельзя, потому что десятичное представление этого числа бесконечно и не повторяется. Мы можем найти дроби, очень близкие к √2, – например 577/408. Они дают весьма хорошее приближение, но и только – всего лишь приближение. Интересно отметить, что сам Пифагор отказывался считать √2 числом. Многие упрекали – и до сих пор упрекают – его за это; на мой взгляд, безосновательно.

Важно помнить, что √2 – всего лишь символ числа, которое при умножении само на себя дает 2. Как я уже говорил, можно было выбрать символом этого числа не √2, а цветок, и сказать, что этот цветок обозначает число, при возведении которого в квадрат получается 2. Отличается ли общепринятый математический символ от цветка? Может быть, нам следовало бы начать использовать в математике побольше цветов – тогда она стала бы гораздо более веселой.

Единственное различие между общепринятым символом и нашим цветком состоит в том, что цветок менее удобно использовать. На самом деле нас вообще не интересуют символы: мы хотим записать число, квадрат которого равен 2. Но оказывается, что сделать этого мы не можем: сколько бы цифр после запятой мы не выписали, их никогда не будет достаточно. Нам нужно выписать бесконечно много цифр, а этого не случится никогда.

Феодор (465–398 до н. э.), родившийся лет через тридцать после смерти Пифагора и бывший личным учителем математики у Платона, доказал, что квадратные корни из 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 17 также равны иррациональным числам. Платон восхищался Феодором и даже упомянул его открытие иррациональности квадратных корней в диалоге «Теэтет»{19}. Мнения о том, почему он остановился на 17, разнятся. В диалоге Теэтет просто говорит Сократу, что Феодор остановился на этом числе. Популярная версия утверждает, что Феодор строил из треугольников спиральную конструкцию, которая носит сегодня его имя. Если вы продолжите это построение, то сразу же увидите, почему его последовательность прекратилась именно на этом числе. Вот спираль Феодора:

Головоломка

Докажите, что квадратный корень из 3 – иррациональное число.

Попробуйте доказать, что квадратный корень из любого целого числа может быть только либо целым, либо иррациональным числом. Другими словами, квадратный корень из любого целого числа, кроме полного квадрата – 4, 9, 16, 25 и так далее, – всегда иррационален.

Ну хорошо. Когда Пифагор решил, что на свете не существует числа, квадрат которого равен 2, он слегка преувеличивал. На свете есть число, квадрат которого равен 2, и число это иррационально. Сегодня математики умеют обращаться с такими числами без особых затруднений – даже несмотря на то, что мы не можем записать их полностью. Честь основания математической теории иррациональных чисел в первую очередь следует приписать трем математикам – Рихарду Дедекинду (1831–1916), Карлу Вейерштрассу (1815–1897) и Георгу Кантору (1845–1918). Не следует полагать, что работать с такими числами легко и просто. Подумайте, например, как сложить √2 и √3 – притом что оба эти числа имеют бесконечное десятичное представление.

В самом деле, как сложить 1,41421356237309504880168872420969807… и 1,73205080756887729352744634150587236…?