Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [30]

Фундаментальные правила сложения, которым нас научили еще в школе, гласят, что начинать надо со сложения самых правых цифр. Но здесь мы не можем найти самые правые цифры – десятичное представление этих чисел бесконечно! Что же делать? Я же говорил вам, что не следует насмехаться над Пифагором из-за того, что он не желал считать иррациональные числа числами.

Многие считают сделанное Пифагором открытие иррациональных чисел самым важным открытием во всей истории математики{20}.

Легенда утверждает, что Пифагор велел своим ученикам хранить его открытие иррациональности длины диагонали квадрата относительно длин его сторон в секрете. Однако один из них, Гиппас, нарушил данное ему обещание (неизвестно, по каким причинам – научным или политическим) и разгласил эту тайну. Далее легенда рассказывает, что Гиппас был изгнан из сообщества пифагорейцев, а кое-кто утверждает даже, что его утопили в море (он попросту не вернулся из одного из своих плаваний вокруг греческих островов). По другой версии, иррациональные числа открыл именно Гиппас, а Пифагор не имел к этому открытию никакого отношения.

Более чем через две тысячи лет после смерти Пифагора Кантор показал, что «почти» все вещественные числа иррациональны. В число таких чисел входят и два из самых важных чисел в математике – число Эйлера e и отношение длины окружности к ее диаметру, число π.

Комментарий и пять упражнений

Я обещал, что буду использовать в этой книге только четыре базовые математические операции. Но кому нужен такой «закон», который нельзя нарушить хотя бы один раз? Вот сейчас мы его и нарушим.

Числа, доказать иррациональность которых легче всего, порождаются операцией логарифмирования{21}. Например, рассмотрим log₂3, то есть логарифм 3 по основанию 2. Докажем его иррациональность. Для начала предположим, что этому числу равно отношение m/n:

Исходя из определения логарифма и законов операций со степенями, из этого следует, что 2 ^m/ⁿ = 3, а (2 ^m/ⁿ)ⁿ = 3ⁿ, а следовательно, 2 ^m = 3ⁿ.

Однако никакая степень 2 не может быть равна какой бы то ни было степени 3[28]: 2 в любой степени всегда дает четное число, а 3 в любой степени – нечетное. Значит, мы пришли к противоречию. Другими словами, не существует таких чисел m и n, для которых

что означает, что m/n не может быть рациональным. Следовательно, log₂3 – иррациональное число.

Пять головоломок

1. Докажите, что золотое сечение{22} ϕ[29] – иррациональное число.

2. Символом секты пифагорейцев была пентаграмма, вписанная в пятиугольник.

Докажите, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине одной из его сторон иррационально. Покажите также, что это отношение равно не произвольному иррациональному числу, а числу ϕ (см. предыдущую задачу). Другими словами, отношение любой диагонали этой фигуры к любой ее стороне равно золотому сечению!

Как же повезло Пифагору, что он так и не узнал, что эти нахальные иррациональные числа, которые он не желал считать равноправными членами семейства чисел, скрывались даже в его собственной эмблеме!

Пифагорейский символ можно дополнить следующим образом:

И такие «дополнения» можно продолжать до бесконечности!

1. Рационально ли число 0,07007000700007…?

2. Рационально ли число 0,123456789101112…?

3. А как насчет числа 0,01123581321345589144…, образованного из членов последовательности Фибоначчи – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… (эта последовательность начинается с 0 и 1, после чего каждый следующий член равен сумме двух предыдущих)?

5 Черепаха, Ахиллес и стрела: апории Зенона

Страх бесконечности, присущий древним грекам, замечательно выражается в знаменитых апориях[30] Зенона Элейского, родившегося около 490 г. до н. э. Он в основном работал в Греции[31] около 450 г. до н. э. О жизни Зенона известно мало. По-видимому, он провел большую ее часть на родине, в городе Элее, хотя Платон рассказывает нам в диалоге «Парменид» об интереснейшей встрече в Афинах, на которой присутствовали Зенон, Парменид и молодой Сократ.

Первоисточник Зенона не сохранился, и исследователи по большей части ссылаются на Аристотеля, который пересказывает апории Зенона в своей «Физике».

Зенон создавал свои апории на основе философии своего учителя и друга Парменида. Поэтому, прежде чем мы перейдем собственно к апориям Зенона, давайте узнаем кое-что о Пармениде и его необычной философии.

Взгляды Парменида на жизнь

Парменид, учитель и друг Зенона (Платон намекал даже, что Зенон с Парменидом были любовниками[32]), считается явлением исключительным не только в греческой философии, но и во всей истории западной философии. Единственная известная работа Парменида «О природе», написанная в форме поэмы, дошла до нас лишь в отрывках. Парменид описывает два взгляда на реальность: «путь истины» и «путь чувств». Говоря о «пути истины», он объясняет, что реальность безвременна, однородна, бесконечно плотна и неизменна. Говоря о «пути чувств», он объясняет мир кажущегося и мнений, ложный и обманчивый. Жизненная философия Парменида состояла в том, что мир чувств – всего лишь иллюзия, а истинная Вселенная, которую можно познать только путем строгих размышлений, безмолвна и неподвижна. Он утверждал, что истинная Вселенная находится сейчас точно в том же состоянии, в котором она находилась секунду назад, год назад, миллиард лет назад, – и пребудет в нем же вовеки.