Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [19]

Например: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².

Тем, кто не считает себя членом сообщества математиков, тот факт, что любое число может быть представлено в виде одного, и только одного, произведения простых сомножителей, кажется совершенно очевидным. Однако для математиков этот факт не вполне ясен: им приходится его доказывать. Не следует, однако, обвинять математиков в излишней педантичности; в прошлом было такое множество положений, которые казались «совершенно очевидными», а потом оказались – и это было доказано – ложными, что математики категорически решили, что любое и каждое утверждение должно быть подтверждено доказательством. Можно предположить, что сложение множества нулей непременно дает нуль, но, как вы увидите далее в этой книге, сумма нулей не всегда бывает равна нулю, а если уж нельзя доверять нулям, то кому вообще можно доверять?

Но я отвлекся. Вернемся к теме простых чисел.

Первое, что мы можем спросить, завязывая с простыми числами отношения, которые мы собираемся заботливо развивать, это: «Сколько всего существует простых чисел?»

Ответ на этот вопрос первым нашел греческий математик Евклид, отец теоретической геометрии. С Евклидом знаком любой, кто изучал геометрию, – где бы и когда это ни происходило. Все мы заучивали постулаты (аксиомы) Евклида: что через любые две точки можно провести одну, и только одну, прямую или что две параллельные прямые никогда не пересекаются. Собственно говоря, классическая геометрия носит его имя – она называется евклидовой геометрией. И, хотя Евклид разрабатывал свою геометрию более 2000 лет назад, ее до сих пор преподают в точности так, как он ее записал. Можно ли представить себе, чтобы биологию, или химию, или физику преподавали, используя только знания, полученные более 2000 – или даже 200 – лет назад?

Евклидова геометрия оказала сильнейшее влияние на лучшие умы человеческой цивилизации, одним из которых был величайший из философов, Барух Спиноза. Евклидовы методы построения геометрии на основе аксиом и базовых концепций настолько впечатлили Спинозу, что он применил этот подход в главной своей работе, «Этике». Разумеется, Спиноза не говорит в своей книге о точках и прямых. Он рассуждает о концепции Бога и о месте человека в мироздании. Но для представления своих доводов он использует чисто евклидовские методы: Спиноза излагает основополагающие концепции, формулирует конкретные аксиомы, а затем использует их для доказательства теорем. Более того, главное произведение Спинозы называется в латинском оригинале Ethica ordine geometrico demonstrata (хотя эту книгу часто называют просто «Этикой»; точный перевод латинского названия – «Этика, доказанная в геометрическом порядке»).

Но вернемся к Евклиду. Прежде чем мы посмотрим его ответ на вопрос «сколько существует простых чисел?», давайте немного подумаем самостоятельно.

Прежде всего нам необходимо определить, конечно или бесконечно количество простых чисел.

Если их количество конечно, то каково самое большое простое число?

Если же простых чисел бесконечно много, можно ли это доказать?

Можно ли представить себе, что некое действительно огромное, необычайно большое число не делится нацело ни на что, кроме единицы и самого себя, и, следовательно, считается простым числом?

Существует ли формула, которую можно использовать для получения всех простых чисел?

ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА

Существует бесконечно много простых чисел.

Я приведу два доказательства этой теоремы. Одно из них кратко и подчеркивает красоту великой идеи Евклида. Второе доказательство, по сути, сводится к тому же, но оно длиннее и помогает подробно объяснить более краткое доказательство.

Короткое доказательство

Предположим, что ряд 2, 3, 5, 7, 11, …, P – это полный список простых чисел вплоть до некоторого простого числа P.

Образуем новое число S, такое, что S = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × … × P) + 1.

Число либо S является простым, либо делится на одно или несколько из простых чисел, больших, чем P. В любом из этих случаев число P не может быть самым большим простым числом. Следовательно, количество простых чисел должно быть бесконечным.

Ч. т. д.

Убедило ли вас это доказательство? Если да, вы можете пропустить следующее; если нет, – читайте дальше!

Длинное доказательство

Здесь мы тоже предположим существование в списке простых чисел самого большого числа, а потом докажем, что такое положение невозможно, что докажет, что простые числа бесконечны. Доказательство этого типа, в котором сначала выдвигают некоторое предположение, а затем доказывают, что такое положение вещей невозможно, математики называют «доказательством от противного». Хотя эта простая, но изящная концепция кажется математикам совершенно естественной, многим, впервые столкнувшимся с ее идеей, бывает несколько трудно с ней примириться.

Если количество простых чисел конечно, то должна существовать возможность найти самое большое простое число, которое мы обозначим P. Выпишем все простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, P.

Теперь образуем еще одно число: S = (2 × 3 × 5 × × 7 × 11 × 13 × 17 ×… × P) + 1. Другими словами, число S равно произведению всех простых чисел из нашего списка плюс 1.