Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [18]

Разумеется, всякий, кто учился в школе, способен дать формулировку этой знаменитой теоремы, но многие ли из вас действительно знают почему она справедлива и как ее доказать?

Рассказывают, что, когда философ Томас Гоббс (1588–1679) случайно увидел теорему Пифагора в книге «отца геометрии» Евклида, он был так поражен, что решительно отказался поверить, что это утверждение может быть истинным. В то время Гоббсу было около 40, и до этого момента он не особенно интересовался математикой. Гоббс прочитал доказательство (что совсем не мало для человека, не отличавшегося страстью к геометрическим фигурам) и влюбился в геометрию.

Что же – если Гоббс не желал поверить в истинность теоремы, мне не остается ничего другого, как доказать ее. Собственно говоря, ее доказательств существуют сотни, начиная с самого первого, так поразившего Гоббса в изложении Евклида, и до доказательств с использованием дифференциалов.

Я покажу вам три доказательства, которые мне особенно нравятся, но до этого хочу представить вам доказательство для случая равнобедренного прямоугольного треугольника. Это доказательство настолько просто, что для его изложения хватит и чертежа.

Доказательство № 1 – изящество простоты

Это доказательство я выбрал потому, что оно – одно из самых простых.

Возьмем квадрат со стороной a + b и построим в нем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, как показано в левой части представленного ниже чертежа. Теперь расположим те же треугольники по-другому, как показано в правой части. Площадь заштрихованных участков на обоих чертежах должна быть одинаковой, так как она в обоих случаях равна суммарной площади квадрата за вычетом площади четырех треугольников.

Следовательно, a² + b² = c².

Доказательство № 2 – доказательство Гарфилда

Если вы думаете, что автором доказательства теоремы Пифагора был ленивый кот Гарфилд[16], вы ошибаетесь. Это доказательство принадлежит двадцатому президенту Соединенных Штатов Джеймсу А. Гарфилду. Однако, если вы думаете, что между котом Гарфилдом и президентом Гарфилдом нет никакой связи, вы опять ошибаетесь! Создатель кота Гарфилда художник Джим Дэвис назвал его в честь своего дедушки, а дедушку назвали в честь президента Гарфилда.

Вот это доказательство. Посмотрите на трапецию, изображенную на следующем чертеже:

Площадь трапеции равна произведению ее высоты (a + b) на среднее арифметическое длин ее оснований

Вместе с тем трапеция состоит из трех треугольников – I, II и III, – а площадь каждого из треугольников I и II равна

Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180°, легко доказать, что треугольник III прямоугольный. Отсюда вытекает, что площадь треугольника III равна

Следовательно,

Раскрыв скобки в левой части и упростив, получаем в результате a² + b² = c².

Ч. т. д.

Браво, двадцатый президент Соединенных Штатов!

Доказательство № 3 – Пифагор и Леонардо

На этот раз автором доказательства был не кто иной, как Леонардо да Винчи. Джорджо Вазари (1511–1574) пишет в «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» (1550), книге о великих художниках, что Леонардо изучал математику всего несколько месяцев, но и за такое короткое время сумел стать специалистом в этой области. Точно так же Леонардо не посвящал много времени изучению музыки, и тем не менее подобно Пифагору любил петь, аккомпанируя себе на лютне. Есть много других предметов, которыми Леонардо занимался лишь недолгое время и тем не менее освоил настолько, что научился применять их даже лучше, чем те, кто затратил на их изучение много времени и сил.

Уверен, что никто не удивится, если я скажу, что основную идею доказательства да Винчи легко можно понять из чертежа.

Как Леонардо да Винчи пришел к этому чертежу? Где именно таится в нем доказательство? Я дам вам время немного поупражнять мозг, размышляя над этой задачей.

3 Тайная жизнь простых чисел

«Эврика» Евклида

В предыдущей главе, в которой мы познакомились с Пифагором, нам встретились треугольные числа, квадратные числа и даже пятиугольные числа. Однако мы совсем не говорили о числах прямоугольных. Почему же?

Эти числа не столь интересны потому, что встречаются они слишком часто. Любое число, которое делится без остатка на другое, меньшее, число, можно представить в виде прямоугольника. Вот, например, всего лишь два представления одного такого числа:

Гораздо интереснее искать числа, которые нельзя представить в виде прямоугольника; точнее говоря, числа, которые делятся только на единицу и само на себя. Например, число 17.

Не существует никакого способа составить из клеток прямоугольник, отличающийся от показанного ниже.

Число называется простым, если у него есть ровно два разных делителя – единица и само это число. Числа, не являющиеся простыми, называют составными. Вот несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… Их список продолжается и дальше. Если вы внимательно прочитаете определение простого числа, вы поймете, почему в этот список не входит число 1.

Простые числа – это кирпичики, из которых строится вся популяция чисел, так как любое составное число может быть представлено одним, и только одним, способом в виде произведения простых чисел, причем любое простое число может входить в это произведение более одного раза.