Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [26]

И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!

Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении

         _b

x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),

         ^a

представить функции x(t), ƒ(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:

         _∞

xp + ∑kpqxq = ƒp                       p = 1, 2, 3...

        ^g=1

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

_∞

∑x2p < ∞.

^p=1

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).

Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l₂), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l₂ с обычным геометрическим пространством R". Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l₂.

Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.

Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l₂ и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L₂). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств l_р и L_p при р > 1 (например, если р = 3, пространство последовательностей/функций суммируемого/интегрируемого куба, и так далее).