Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [25]

Шрифт
Интервал


НАУКА И ВОЙНА

В 1914 году большая часть европейцев в эйфории приветствовала начало Первой мировой войны. Гильберт, наоборот, с первых дней не скрывал, что война кажется ему абсурдной. В августе этого года 93 знаменитых немецких интеллектуала направили манифест «К цивилизованному миру» в ответ на возрастающее возмущение действиями немецкой армии. Под влиянием националистической пропаганды Феликс Клейн подписал это обращение, поддерживающее политику кайзера. Попросили его подписать и Гильберта, но тот отказался, объясняя это тем, что не знает наверняка, являются обвинения в адрес немецких войск ложными или нет. Эта позиция сблизила его с пацифистом Эйнштейном, который тоже отказался подписывать манифест. В разгар войны, в 1917 году, Гильберт опубликовал некролог Жану Гастону Дарбу(1842-1917), выдающемуся французскому математику, в котором превозносил этого ученого. Когда студенты окружили его дом, требуя переписать заметку, Гильберт потребовал у них извинений (и получил их). В результате европейские коллеги увидели в нем человека свободного духом, презирающего традиции и условности. Так что по окончании войны, когда Германия была разгромлена, его репутация сохранилась, и на первом международном конгрессе математиков, состоявшемся в межвоенный период (Болонья, 1928, VIII Международный конгресс математиков), он не колеблясь настаивал на универсальном характере математики, поскольку любые границы — это против природы.

Жан Гастон Дарбу.



Вторая причина, более важная, состоит в том, что, как недавно выяснил историк математики Лео Корри, содержание статьи, представленной Гильбертом в Академию наук 20 ноября, не совпадает с опубликованным. Гильберт внес исправления 6 декабря с учетом представленного Эйнштейном 25 ноября. Похоже, Гильберт изменил свои уравнения, чтобы приспособить их к уравнениям Эйнштейна. Так что этот небольшой спор не вылился в долгосрочную вражду.

У нас произошла размолвка, причины которой я не хочу анализировать. [...] Просто стыдно подумать, что двое приличных людей, сумевших отчасти отрешиться от мелких страстей человечества, не могут наслаждаться общением друг с другом.

Альберт Эйнштейн в письме Гильберту от 20 декабря 1915 года


ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если исследовательский этап Гильберта в области вариационного исчисления привел его к разработке общей теории относительности, то период между 1904 и 1910 годами, который он посвятил интегральным уравнениям, позволил ему сделать то же с квантовой механикой. Речь, конечно же, о самом важном вкладе Гильберта в математический анализ и опосредованно в физику, о ряде статей, которые позже он объединил в монографии «Основания общей теории линейных интегральных уравнений» (1912), содержащей не только строгую математическую теорию, но и множество разнообразных физических применений — от кинетической теории газов до теории излучения.

Но начнем сначала. Для интегрального уравнения характерно, что неизвестная функция также появляется внутри интеграла. Например:

         >b

x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),

        > a

где функция K(t, s) является ядром интегрального уравнения. При заданном ядре K(t, s) и функции ƒ(t) (непрерывные функции) требуется найти неизвестную функцию x(t).

В XIX веке было сформулировано несколько интегральных уравнений по физическим вопросам, таким как проблема брахистохроны или проблема Дирихле. Но только в 1888 году Поль де Буа-Реймон (1831 — 1889) ввел термин «интегральные уравнения» для их обозначения и заявил о необходимости разработать общую теорию этих уравнений в качестве альтернативного метода решения задач с дифференциальными уравнениями.

В 1900 году шведский математик Ивар Фредгольм (1866- 1927) позаимствовал внешне безобидное замечание итальянского математика Вито Вольтерры (1860-1940) и предложил новый способ решения проблемы Дирихле с использованием интегральных уравнений. Изучив уравнения потенциала, или уравнения Лапласа с граничными условиями, Фредгольм трансформировал проблему в интегральное уравнение, как приведенное выше, и воспользовался схожестью этого интегрального уравнения и системы бесконечных линейных уравнений, когда интеграл заменяется суммами Римана. Интеграл — это процесс вычисления площади, ограниченной кривой. Сумма Римана — по сути, всего лишь равносильный способ вычисления значения интеграла: проводится конечное число прямоугольников внутри площади, ограниченной кривой, и эта площадь приближается к сумме площадей каждого из этих прямоугольников (см. рисунок). Когда число прямоугольников стремится к бесконечности, суммы Римана сходятся в точном значении интеграла. В этой технике интегральное уравнение разрастается в систему бесконечных линейных уравнений. Следовательно, решить отправное интегральное уравнение — значит решить всю систему бесконечных линейных уравнений.

Сумма Римана — это сумма площадей прямоугольников на рисунке, которая служит для приближения к площади, ограниченной кривой, то есть к интегралу функции ƒ(x) от a до b.


Сенсационные результаты Фредгольма распространились со скоростью звука. Зимой 1900-1901 года гостивший в Гёттингене преподаватель провел аналогию между интегральными уравнениями и системами линейных уравнений на семинаре Гильберта, и тот живо заинтересовался данной темой и направил на нее всю свою производительность (в пылу он даже предсказал, что новый инструмент позволит в итоге доказать гипотезу Римана). Шесть работ на эту тему, опубликованные им между 1904 и 1910 годами, содержали зачатки нового ответвления анализа (функциональный анализ) и привели к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики.


Рекомендуем почитать
Молодежь Русского Зарубежья. Воспоминания 1941–1951

Рассказ о жизни и делах молодежи Русского Зарубежья в Европе в годы Второй мировой войны, а также накануне войны и после нее: личные воспоминания, подкрепленные множеством документальных ссылок. Книга интересна историкам молодежных движений, особенно русского скаутизма-разведчества и Народно-Трудового Союза, историкам Русского Зарубежья, историкам Второй мировой войны, а также широкому кругу читателей, желающих узнать, чем жила русская молодежь по другую сторону фронта войны 1941-1945 гг. Издано при участии Posev-Frankfurt/Main.


Заяшников Сергей Иванович. Биография

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Жизнь сэра Артура Конан Дойла. Человек, который был Шерлоком Холмсом

Уникальное издание, основанное на достоверном материале, почерпнутом автором из писем, дневников, записных книжек Артура Конан Дойла, а также из подлинных газетных публикаций и архивных документов. Вы узнаете множество малоизвестных фактов о жизни и творчестве писателя, о блестящем расследовании им реальных уголовных дел, а также о его знаменитом персонаже Шерлоке Холмсе, которого Конан Дойл не раз порывался «убить».


Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).