Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [5]

льшая часть спортсменов толпится на трудных участках, а доля безмятежно улыбающихся лиц не так уж и велика!

Измеряем уровень подлости

Давайте, как когда-то в школе, покажем на графике зависимость перемещения велосипедиста от времени при движении по симметричной треугольной горке. Только сделаем всё «по-взрослому», в так называемых собственных масштабах задачи[5]: расстояние станем измерять не в километрах, а в долях общего пути. Так же поступим и со временем путешествия. Первую половину пути велосипедист двигался медленно и долго — 4/5 всего времени, — а вторую преодолел быстро — за 1/5 времени (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Диаграмма перемещения велосипедиста в долях от общего пути и времени

Что же нам показывает полученный график? Во-первых, мы можем сравнить скорости на разных участках (наклоны) со средней скоростью, которая соответствует диагональной линии. Во-вторых, становится наглядным соотношение 80/50 — 80 % времени путешествия заняла трудная половина маршрута. Кроме того, из графика можно заключить, что за первую половину расчетного времени путешествия велосипедист успеет преодолеть лишь треть пути. Пока все предельно просто и понятно.

А что, если маршрут велосипедиста усложнится и перестанет быть симметричным? Что, если участков с подъемами и спусками окажется несколько, и все они будут разными по сложности? Можно изобразить путешествие и на этот раз — например, так, как показано на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Диаграмма перемещения велосипедиста для более сложного маршрута

Диаграмма хорошо отражает характер пути, но не дает представления об общем соотношении легких и трудных участков; иными словами, она ничего не говорит о распределении скоростей. О том, какой смысл мы вкладываем в слово «распределение», речь пойдет в следующей главе; пока же доверимся интуиции и тому, что мы используем его достаточно часто и порой не вкладываем в него точный математический смысл. Чтобы увидеть это распределение, упорядочим отрезки пути по скорости от самых медленных до самых быстрых, после чего вновь нанесем их на диаграмму (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Диаграмма перемещения велосипедиста для распределения скоростей

Мы потеряем при этом информацию о последовательности участков, зато получим обобщающую картину, отражающую то, что можно было бы условно назвать «справедливостью» распределения. Более того, если вместо одного велосипедиста мы взглянем на группу спортсменов, ездящих по этому маршруту в произвольном направлении, то наша диаграмма практически не изменится, разве что несколько сгладится из-за разброса скоростей. Ее смысл останется прежним: она покажет, насколько этот маршрут отклоняется от самого справедливого, на котором время преодоления участка не зависит от его «трудности», а определяется только его длиной.

Пора пояснить, откуда взялась такая странная терминология. С начала XX века у эконометристов, демографов, экологов и маркетологов появились вполне универсальные способы суждения о несправедливости этого мира — кривая Лоренца и связанный с ней индекс Джини.

Для известного распределения в некоторой популяции чего-нибудь ценного, например денег, можно, отсортировав элементы множества по возрастанию уровня богатства, построить кумулятивную кривую. Она строится путем последовательного суммирования вкладов каждого члена группы и показывает, как по мере добавления новых членов растет общее благосостояние популяции. Далее нужно поделить все значения, отмеченные по оси X, на численность популяции, а по оси Y — на общее ее благосостояние, перейдя от конкретных чисел к долям или процентам. Получится кривая, носящая имя американского экономиста Макса Отто Лоренца. Когда мы строили график перемещения велосипедиста по простой треугольной горке, мы, по существу, создали кривую Лоренца для распределения скоростей по отрезкам пути, состоящего всего из двух столбцов, как показано на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Распределение скорости велосипедиста по пройденному пути

Конечно, не всякий график перемещения можно воспринимать как кривую Лоренца. Для начала нужно отсортировать периоды путешествия по возрастанию скорости, после чего приступать к построению. Можно построить гистограмму скоростей, сгруппировав известные нам данные по принадлежности к известным интервалам значений, после чего последовательно суммировать вклады всех данных гистограммы, начиная с малых значений и заканчивая самыми большими. Результатом должна стать всюду вогнутая кривая, которая проходит ниже диагонали, — настоящая кривая Лоренца. Упомянутая диагональ называется кривой равенства, она в нашем случае соответствует постоянной (средней) скорости на всем пути или гистограмме с единственным столбиком (такое распределение называется вырожденным). В экономическом контексте кривая равенства отражает всеобщее равенство благосостояния в обществе. Чем больше кривая Лоренца отклоняется от кривой равенства, тем менее «справедливым» можно считать распределение. И, раз уж мы изучаем законы подлости и несправедливости нашего мира, разумно использовать терминологию и инструменты, созданные именно для исследования справедливости.