Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [4]
А можно ли чем-то моделировать стрелки? Абстрактной моделью в этом случае способен стать упорядоченный набор чисел с определенными правилами сложения и умножения на число, который называется вектором. Так математики пришли к мысли о линейных векторных пространствах, элементами которых являются векторы. Изучая свойства этих пространств (изучая, а не придумывая, разницу мы обсудим позже), математики выработали единый язык, который называется линейной алгеброй, для разговора о таких разных вещах, как, например, цвета, вращения предметов в пространстве, спектры звуковых сигналов. Пользуясь этим языком, уже можно найти оптимальную стратегию в экономической игре или научить компьютер распознавать нашу речь, рукописные буквы либо лицо человека в толпе.
Математики работают с математическими структурами — универсальными моделями всего, с чем имеет дело человеческий разум. Группы, поля, решетки, графы, петли, косы, языки и бесконечномерные пространства… Все это структуры с четко определенными свойствами и, если угодно, поведением. Вот уже тысячи лет математики исследуют взаимосвязи между ними, обнаруживают в реальном и математическом мире, что еще можно с их помощью моделировать и при каких условиях.
Я не случайно называл манипуляции с петлями на проводе наушников «сложением», а сами петли «положительными» и «отрицательными». Такая терминология оправдана тем, что петли на струне образуют структуру, называемую группой. Для ее построения нужно иметь множество[4]A и некую операцию +, которая будет удовлетворять следующим четырем свойствам.
1. Замкнутость: для любых двух элементов из множества A результат операции + всегда будет элементом этого же множества.
2. Ассоциативность: для любых a, b, c из множества A верно, что (a + b) + c = a + (b + c).
3. Существование нейтрального элемента: в A есть единственный элемент 0, такой, что 0 + a = a + 0 = a для любого a из A.
4. Обратимость: для каждого элемента a в A существует единственный обратный ему элемент (—a), такой, что a + (—a) = 0.
Группа — общая модель для обратимого ассоциативного комбинирования действий или объектов. Ее образуют числа с операцией сложения, и они же формируют группу с операцией умножения. Несложно убедиться, что аксиомам группы удовлетворяют и петли на веревке или ленте. Понятие группы настолько важно в математике, что, хотя они сами нам в этой книге и не понадобятся, нелишним будет о них рассказать тем, кто с таким подходом еще не знаком, или напомнить тем, кто о группах уже слышал, но не связал свою жизнь с их изучением.
Мы в основном будем иметь дело с двумя структурами: случайными величинами и случайными функциями. Но, знакомясь с ними, мы встретим многие другие понятия и модели и обозначим некоторые связи между ними.
А начнем мы с простого инструментария, который будет полезен на протяжении всего рассказа. И для этого нам потребуется… велосипед!
Закон велосипедиста
Я большой энтузиаст любительского велосипедного спорта. Многие задачи, вошедшие в эту книгу, я обмозговывал в седле, вертя их мысленно и так и эдак, пытаясь найти наиболее наглядный и простой подход к их объяснению. Что может быть лучше, чем мчаться по трассе ранним утром, по холодку, скатываясь с легкого склона… Это ощущение стоит того, чтобы ради него преодолевать бесконечные подъемы или сопротивление встречному ветру! Правда, порой кажется, что подъемов больше, чем спусков, а ветер норовит быть встречным, куда ни поверни. В книгах по мерфологии в связи с этим приводится закон велосипедиста:
Живу я на Камчатке. В Петропавловске много горок — катаясь по городу, их не миновать. Однако меня должна успокаивать такая мысль: начиная свой путь из дома, я возвращаюсь снова туда, а это значит, что суммарный спуск должен быть равен суммарному подъему. Особенно честным будет маршрут, в котором прямой и обратный пути совпадают.
Представим себе 2-километровую трассу, которая состоит из одной симметричной горки: километр вверх, километр вниз. Вверх по склону я могу достаточно долго ехать со скоростью 10 км/ч, а на спуске стараюсь держать скорость 40 км/ч (я осторожный велосипедист). Исходя из этих условий, на подъем я буду тратить в четыре раза больше времени, чем на спуск, и общая картина получится такой: 4/5 времени путешествия уйдет на тягучий подъем и лишь 1/5 — на приятный спуск. Обидно — 80 % времени прогулки займет сложный участок пути! Этот результат не зависит от длины горок, а определяется лишь соотношением скоростей. Если я выкачусь из нашего холмистого города в сторону океана или в долину реки Авачи, горок почти не будет, но в моем распоряжении остаются встречный и попутный ветер или участки с плохой дорогой, которые также способны отнять значительную часть времени путешествия.
Взглянем на закон велосипедиста несколько иначе. Если я сделаю множество селфи на протяжении своей велопрогулки в случайные моменты, а потом займусь их подсчетом и классификацией, то обнаружу, что большинство картинок показывает мне согбенную фигуру в оранжевом шлеме, упорно ползущую вверх по склону либо сопротивляющуюся встречному ветру. Доля снимков с летящим и сияющим велосипедистом, как на рекламной картинке, увы, составит лишь около 20 %. А что скажет статистика? Если мы выпустим на холмистую трассу большую толпу велосипедистов, подождем немного и понаблюдаем за их плотностью, то увидим, что б
