Венский кружок. Возникновение неопозитивизма - [24]

Построенную таким образом знаковую систему Карнап называет «конечным» языком, ибо она содержит только ограниченные операторы общности и существования. (Она приблизительно соответствует арифметике натуральных чисел с ограничениями математического интуиционизма.)

Вторая знаковая система, построенная Карнапом, является «бесконечным» языком. (Она включает в себя те же знаки, что и первая, но, кроме того, содержит еще неограниченные операторы.)

Она богаче первой, поскольку включает в себя новые виды функторов, предикатов и переменных. Вследствие этого выражения должны быть распределены по логическим типам и ступеням. Посредством правил образования определяются различные виды выражений этого языка, аналогичные выражениям первого языка. Правила преобразования большей частью аналогичны правилам первого языка. Система аксиом дополняется в соответствии с более богатым набором знаков второго языка новыми аксиомами для неограниченных операторов, обобщенным принципом выбора Цермело и двумя аксиомами экстенсиональности. Посредством двух правил вывода — правила импликации и правила оператора общности — определяется, когда некоторое предложение непосредственно выводимо из другого предложения: если оно имплицируется этим другим предложением или получается из другого посредством добавления оператора общности. По причине большего богатства выражений этого языка определение следования оказывается гораздо более громоздким, чем в первом языке, поэтому Карнап дает лишь метод определения, а не само определение. Здесь, напротив, сначала определяются понятия «аналитический» и «противоречивый», а затем с их помощью — понятия «следование», «синтетический», «совместимый», «несовместимый». После этого можно доказать, что каждое логическое предложение является либо аналитическим, либо противоречивым. В таком языке можно выразить всю классическую математику и физику.

На основе такого расширения можно решить первоначальную задачу — дать общее описание синтаксиса любого языка. Не существует одиого-единственного языка, о котором говорил Витгенштейн, но имеется много различных языков, что показано при построении двух упомянутых выше языков. Общий синтаксис подразумевает систему определений синтаксических понятий, применимых ко всем языкам. Как отметил сам Карнап (IV, S. 120), его система представляет собой лишь набросок, первую попытку рассмотреть ту область, в которой до сих пор сделано очень мало¹⁰⁶.

Для описания синтаксиса необходимы неопределенные понятия. «Неопределенным» является такой языковой знак, в определение которого входит неограниченный оператор. Основные понятия преобразований: «выводимо», «доказуемо», «аналитический», «противоречивый», «синтетический» являются определенными только в очень простых системах, в других системах они будут неопределенными. Понятия «следование» и «содержание» всегда являются неопределенными. Однако допустимость неопределенных понятий вызывает споры. Свойство, выражаемое определенным логическим предикатом первого порядка, всегда разрешимо относительно его наличия или отсутствия. Напротив, для неопределенного предиката нет никакой общей разрешающей процедуры. Поэтому Пуанкаре, Брауэр, Витгенштейн считали неопределенные понятия бессмысленными и недопустимыми. Однако Карнап показал, что они осмысленны и допустимы.

Неопределенные понятия считаются бессмысленными только потому, что смысл понятия определяют посредством метода, позволяющего установить, имеется оно или нет. У нас нет такой общей разрешающей процедуры для неопределенных понятий, поэтому мы считаем их бессмысленными. Однако нам хорошо известно, при каких условиях было бы достигнуто решение о наличии свойства, выраженного неопределенным понятием. Это произойдет в том случае, когда мы найдем доказательство наличия или отсутствия этого свойства. Можно с определенностью установить, является ли некоторая последовательность таким доказательством или нет. Поэтому неопределенные понятия осмысленны, ибо известно, когда их можно применять. Тогда их использование также можно не оспаривать, если принять ограничивающее требование относительно того, что в каждом отдельном случае должен быть разрешим вопрос о том, присутствует ли свойство, выражаемое неограниченным понятием, или нет. Для того чтобы доказать предложение с неограниченным оператором, общее предложение, вовсе не обязательно доказывать все конкретные предложения, полученные из него подстановкой констант, да это и невозможно сделать вследствие бесконечности их количества. Если бы это было действительно необходимо, то тогда, конечно, все общие предложения пришлось бы признать неразрешимыми и бессмысленными. Однако можно дать обоснование самого общего предложения с помощью отдельного доказательства. Доказательство является конечной операцией, поэтому доказуемы также и предложения с неограниченными операторами. Таким образом, «для неопределенных понятий также... в отдельных случаях существует возможность установить их наличие или отсутствие, даже если у нас нет общей разрешающей процедуры» (S. 116, 117). Поэтому нет необходимости исключать неопределенные понятия.